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微练(十五)　对数函数
　　　　　　　　　　　　　　　　
基础过关
一、单项选择题
1.函数y=的定义域是(B)
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,2] D.[1,+∞)
解析　由题意lo(2x-1)≥0,所以0<2x-1≤1,即1<2x≤2,解得02.已知函数f(x)=logax的图象过点(8,3),则f(2)的值为(B)
A.-1 B.1 C. D.-
解析　因为函数f(x)=logax的图象过点(8,3),所以loga8=3,即loga8=logaa3,则a3=8,解得a=2,所以f(x)=log2x,则f(2)=log22=1,故选B.
3.设 a=log0.23,b=0.23,c=,则a,b,c的大小关系为(A)
A.aC.a解析　因为a=log0.23=1,所以a4.如果ln xA.0C.x>y>1 D.y>x>1
解析　由对数函数f(x)=ln x,可得x>0,且f(x)为单调递增函数,因为ln x5.已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是(C)
A. B.
C.[1,) D.
解析　由函数f(x)在R上单调递减,得函数f(x)在(-∞,0)和[0,+∞)上都单调递减,且2a-1≥2-a2,解2a-1≥2-a2,得a≤-3或a≥1;而函数y=ln(e-x)在(-∞,0)上单调递减,则2a-1>0,解得a>;因此a≥1,函数y=在[0,+∞)上单调递减,则2-a2>0,于是1≤a<,所以a的取值范围是[1,).故选C.
6.已知函数f(x)=ln(ex+e-x+t)有最小值,则实数t的取值范围是(D)
A.t≥-1 B.t>-1 C.t≥-2 D.t>-2
解析　当t>-2时,ex+e-x+t≥2+t>0,当且仅当x=0时等号成立,故(ex+e-x+t)min=2+t,故f(x)=ln(ex+e-x+t)有最小值ln(2+t),当t≤-2时,令ex+e-x+t>0,则e2x+tex+1>0,故xln,故函数的定义域为∪,在定义域的条件下,此时y=e2x+tex+1无最小值,故t≤-2舍去;综上,t>-2,故选D.
二、多项选择题
7.已知函数f(x)=ln,则(ACD)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)≥0
C.f(x)在(-2,2)上单调递减
D.f(x)在(2,+∞)上单调递增
解析　要使得函数f(x)有意义,则>0,解得x≠2且x≠-2,所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)+f(x)=ln+ln=ln 1=0,从而f(x)是奇函数,A正确;f(1)=ln8.已知f(x)=log2(x2-mx+m+3)的定义域为D,值域为M,则(ACD)
A.若D=R,则M≠R
B.对任意m∈R,使得f(-5)=f(-7)
C.对任意m∈R,f(x)的图象恒过一定点(1,2)
D.若f(x)在(-∞,3)上单调递减,则m的取值范围是{6}
解析　对于A,因为定义域为R,只需要x2-mx+m+3>0恒成立,所以判别式(-m)2-4(m+3)<0,即-2三、填空题
9.设函数f(x)=ln(x+1),若f(x)>0,则实数k的最大值为 1 .
解析　由题意可知:f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),若f(x)>0,则有:当x∈(-1,0)时,则ln(x+1)<0,可得+k<0,即k<-,且y=-在(-1,0)内的值域为(1,+∞),则k≤1;当x∈(0,+∞)时,则ln(x+1)>0,可得+k>0,即k>-,且y=-在(0,+∞)内的值域为(-∞,0),则k≥0;综上所述:0≤k≤1,所以实数k的最大值为1.
10.函数f(x)=sin 2x的图象与函数h(x)=log5x的图象交点个数为 3 .
解析　函数f(x)=sin 2x定义域为R,最小正周期为π,f(x)max=1,当00,函数h(x)=log5x在定义域(0,+∞)上是增函数,当05时,h(x)>1,因此函数f(x)=sin 2x与函数h(x)=log5x的图象交点横坐标只能在区间(1,5)上,在同一坐标系内作出函数y=f(x),y=h(x)的部分图象,如图:
观察图象知,函数f(x)=sin 2x与函数h(x)=log5x的图象交点个数为3.
11.函数f(x)是y=ex的反函数,记函数g(x)=|f(x+1)|,则使g(x2+1)>g(x+1)成立的x的取值范围为 (x0,0)∪(1,+∞),其中x0∈(-2,-1) .
解析　依题意,f(x)=ln x,g(x)=|f(x+1)|=|ln(x+1)|,不等式g(x2+1)>g(x+1)
|ln(x2+2)|>|ln(x+2)|,而ln(x2+2)>ln 2>0,当x+2≥1,即x≥-1,不等式为ln(x2+2)>ln(x+2),则x2+2>x+2,解得x<0或x>1,因此-1≤x<0或x>1;当0-ln(x+2),即ln(x2+2)>ln,则x2+2>,在同一坐标系内作出函数y=x2+2,y=(x>-2),函数y=x2+2,y=(x>-2)的图象在(-2,-1)上有唯一交点,即方程x2+2=在(-2,-1)上有唯一解x0,不等式x2+2>在(-2,-1)上的解为x0ln在(-2,-1)上的解集为(x0,-1),所以x的取值范围为(x0,0)∪(1,+∞),x0∈(-2,-1).
四、解答题
12.设f(x)=loga(1+x)+loga(5-x)(a>0,a≠1),且f(2)=-2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间上的最值.
解　(1)因为f(2)=loga3+loga3=-2,则a=,由题意可得解得-1(2)由(1)可得f(x)=lo[(1+x)(5-x)],-113.已知函数f(x)=log2(x2-ax+1).
(1)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)设g(x)=4x-2x+1,若对任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.
解　(1)令t=x2-ax+1,则y=log2t.因为函数y=log2t是(0,+∞)上的增函数,f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以根据复合函数单调性的判断方法可得:函数t=x2-ax+1在[2,+∞)上单调递增,且t>0在[2,+∞)上恒成立,所以解得a<.故a的取值范围为.
(2)因为对任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,所以f(x)≥g(x)min.
令u=2x,x∈[-1,1],因为g(x)=4x-2x+1=(2x)2-2×2x, 所以y=u2-2u,u∈.又二次函数y=u2-2u的图象开口向上,对称轴为直线u=1,所以当u=1时,函数y=u2-2u有最小值-1,故当x∈[-1,1]时,g(x)min=-1.所以f(x)≥-1对于任意x∈(0,1)恒成立,即x2-ax+1≥对于任意x∈(0,1)恒成立,故a≤x+对于任意x∈(0,1)恒成立.又由基本不等式可得:x+≥,当且仅当x=时等号成立,故a≤,即a的取值范围为(-∞,].
素养提升
14.已知函数f(x)=log2x+3,x∈[1,4],则函数g(x)=f(x2)-[f(x)]2的最小值为(A)
A.-11 B.-18 C.-38 D.-6
解析　因f(x)=log2x+3,x∈[1,4],对于函数g(x)=f(x2)-[f(x)]2,由解得1≤x≤2,即函数g(x)的定义域为[1,2],g(x)=f(x2)-[f(x)]2=2log2x+3-(log2x+3)2=-(log2x)2-4log2x-6=-(log2x+2)2-2,设t=log2x,则由x∈[1,2]可得0≤t≤1,而g(x)=h(t)=-(t+2)2-2在区间[0,1]上单调递减,故当t=1时,g(x)取得最小值为-11.故选A.
15.(多选题)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(0A.x1x2=1
B.x1+x2+x3+x4的值可能为25
C.x3x4=22
D.x1+x2+x3+x4的值可能为32
解析　由解析式,在(0,1),(10,11)上单调递减,在(1,10),(11,+∞)上单调递增,
f=f(10)=f(12)=1,f(1)=f(11)=0,可得函数大致图象如图所示,由016.(2026·淄博模拟)设方程ex+x+e=0,ln x+x+e=0的根分别为p,q,函数f(x)=ex+(p+q)x,令a=f(0),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为 a>c>b .
解析　由ex+x+e=0得ex=-x-e,由ln x+x+e=0得ln x=-x-e,则直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象交点的横坐标分别为p,q.函数y=ex,y=ln x互为反函数,则它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x-e垂直于直线y=x,因此直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象的交点关于直线y=x对称,即点(p,q)在直线y=-x-e上,则p+q=-e,f(x)=ex-ex,于是f(0)=1,f=-e<1,f=-e=e<3×=1,而f-f=-e-=(e--1)>0,所以f(0)>f>f,即a>c>b.微练(十五)　对数函数
　　　　　　　　　　　　　
基础过关
一、单项选择题
1.函数y=的定义域是(　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,2] D.[1,+∞)
2.已知函数f(x)=logax的图象过点(8,3),则f(2)的值为(　　)
A.-1 B.1
C. D.-
3.设 a=log0.23,b=0.23,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.a4.如果ln xA.0C.x>y>1 D.y>x>1
5.已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A. B.
C.[1,) D.
6.已知函数f(x)=ln(ex+e-x+t)有最小值,则实数t的取值范围是(　　)
A.t≥-1 B.t>-1
C.t≥-2 D.t>-2
二、多项选择题
7.已知函数f(x)=ln,则(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)≥0
C.f(x)在(-2,2)上单调递减
D.f(x)在(2,+∞)上单调递增
8.已知f(x)=log2(x2-mx+m+3)的定义域为D,值域为M,则(　　)
A.若D=R,则M≠R
B.对任意m∈R,使得f(-5)=f(-7)
C.对任意m∈R,f(x)的图象恒过一定点(1,2)
D.若f(x)在(-∞,3)上单调递减,则m的取值范围是{6}
三、填空题
9.设函数f(x)=ln(x+1),若f(x)>0,则实数k的最大值为　　　　　.
10.函数f(x)=sin 2x的图象与函数h(x)=log5x的图象交点个数为　　　　.
11.函数f(x)是y=ex的反函数,记函数g(x)=|f(x+1)|,则使g(x2+1)>g(x+1)成立的x的取值范围为　　　　　.
四、解答题
12.设f(x)=loga(1+x)+loga(5-x)(a>0,a≠1),且f(2)=-2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间上的最值.
13.已知函数f(x)=log2(x2-ax+1).
(1)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)设g(x)=4x-2x+1,若对任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.
素养提升
14.已知函数f(x)=log2x+3,x∈[1,4],则函数g(x)=f(x2)-[f(x)]2的最小值为(　　)
A.-11 B.-18
C.-38 D.-6
15.(多选题)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(0A.x1x2=1
B.x1+x2+x3+x4的值可能为25
C.x3x4=22
D.x1+x2+x3+x4的值可能为32
16.(2026·淄博模拟)设方程ex+x+e=0,ln x+x+e=0的根分别为p,q,函数f(x)=ex+(p+q)x,令a=f(0),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为　　　　.
微练(十五)　对数函数
1.B　解析　由题意lo(2x-1)≥0,所以0<2x-1≤1,即1<2x≤2,解得02.B　解析　因为函数f(x)=logax的图象过点(8,3),所以loga8=3,即loga8=logaa3,则a3=8,解得a=2,所以f(x)=log2x,则f(2)=log22=1,故选B.
3.A　解析　因为a=log0.23=1,所以a4.A　解析　由对数函数f(x)=ln x,可得x>0,且f(x)为单调递增函数,因为ln x5.C　解析　由函数f(x)在R上单调递减,得函数f(x)在(-∞,0)和[0,+∞)上都单调递减,且2a-1≥2-a2,解2a-1≥2-a2,得a≤-3或a≥1;而函数y=ln(e-x)在(-∞,0)上单调递减,则2a-1>0,解得a>;因此a≥1,函数y=在[0,+∞)上单调递减,则2-a2>0,于是1≤a<,所以a的取值范围是[1,).故选C.
6.D　解析　当t>-2时,ex+e-x+t≥2+t>0,当且仅当x=0时等号成立,故(ex+e-x+t)min=2+t,故f(x)=ln(ex+e-x+t)有最小值ln(2+t),当t≤-2时,令ex+e-x+t>0,则e2x+tex+1>0,故xln,故函数的定义域为∪,在定义域的条件下,此时y=e2x+tex+1无最小值,故t≤-2舍去;综上,t>-2,故选D.
7.ACD　解析　要使得函数f(x)有意义,则>0,解得x≠2且x≠-2,所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)+f(x)=ln+ln=ln 1=0,从而f(x)是奇函数,A正确;f(1)=ln8.ACD　解析　对于A,因为定义域为R,只需要x2-mx+m+3>0恒成立,所以判别式(-m)2-4(m+3)<0,即-29.1　解析　由题意可知:f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),若f(x)>0,则有:当x∈(-1,0)时,则ln(x+1)<0,可得+k<0,即k<-,且y=-在(-1,0)内的值域为(1,+∞),则k≤1;当x∈(0,+∞)时,则ln(x+1)>0,可得+k>0,即k>-,且y=-在(0,+∞)内的值域为(-∞,0),则k≥0;综上所述:0≤k≤1,所以实数k的最大值为1.
10.3　解析　函数f(x)=sin 2x定义域为R,最小正周期为π,f(x)max=1,当00,函数h(x)=log5x在定义域(0,+∞)上是增函数,当05时,h(x)>1,因此函数f(x)=sin 2x与函数h(x)=log5x的图象交点横坐标只能在区间(1,5)上,在同一坐标系内作出函数y=f(x),y=h(x)的部分图象,如图:
观察图象知,函数f(x)=sin 2x与函数h(x)=log5x的图象交点个数为3.
11.(x0,0)∪(1,+∞),其中x0∈(-2,-1)　解析　依题意,f(x)=ln x,g(x)=|f(x+1)|=|ln(x+1)|,不等式g(x2+1)>g(x+1) |ln(x2+2)|>|ln(x+2)|,而ln(x2+2)>ln 2>0,当x+2≥1,即x≥-1,不等式为ln(x2+2)>ln(x+2),则x2+2>x+2,解得x<0或x>1,因此-1≤x<0或x>1;当0-ln(x+2),即ln(x2+2)>ln,则x2+2>,在同一坐标系内作出函数y=x2+2,y=(x>-2),函数y=x2+2,y=(x>-2)的图象在(-2,-1)上有唯一交点,即方程x2+2=在(-2,-1)上有唯一解x0,不等式x2+2>在(-2,-1)上的解为x0ln在(-2,-1)上的解集为(x0,-1),所以x的取值范围为(x0,0)∪(1,+∞),x0∈(-2,-1).
12.解　(1)因为f(2)=loga3+loga3=-2,则a=,由题意可得解得-1(2)由(1)可得f(x)=lo[(1+x)(5-x)],-113.解　(1)令t=x2-ax+1,则y=log2t.因为函数y=log2t是(0,+∞)上的增函数,f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以根据复合函数单调性的判断方法可得:函数t=x2-ax+1在[2,+∞)上单调递增,且t>0在[2,+∞)上恒成立,所以解得a<.故a的取值范围为.
(2)因为对任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,所以f(x)≥g(x)min.
令u=2x,x∈[-1,1],因为g(x)=4x-2x+1=(2x)2-2×2x, 所以y=u2-2u,u∈.又二次函数y=u2-2u的图象开口向上,对称轴为直线u=1,所以当u=1时,函数y=u2-2u有最小值-1,故当x∈[-1,1]时,g(x)min=-1.所以f(x)≥-1对于任意x∈(0,1)恒成立,即x2-ax+1≥对于任意x∈(0,1)恒成立,故a≤x+对于任意x∈(0,1)恒成立.又由基本不等式可得:x+,当且仅当x=时等号成立,故a≤,即a的取值范围为(-∞,].
14.A　解析　因f(x)=log2x+3,x∈[1,4],对于函数g(x)=f(x2)-[f(x)]2,由解得1≤x≤2,即函数g(x)的定义域为[1,2],g(x)=f(x2)-[f(x)]2=2log2x+3-(log2x+3)2=-(log2x)2-4log2x-6=-(log2x+2)2-2,设t=log2x,则由x∈[1,2]可得0≤t≤1,而g(x)=h(t)=-(t+2)2-2在区间[0,1]上单调递减,故当t=1时,g(x)取得最小值为-11.故选A.
15.ABD　解析　由解析式,在(0,1),(10,11)上单调递减,在(1,10),(11,+∞)上单调递增,f=f(10)=f(12)=1,f(1)=f(11)=0,可得函数大致图象如图所示,由016.a>c>b　解析　由ex+x+e=0得ex=-x-e,由ln x+x+e=0得ln x=-x-e,则直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象交点的横坐标分别为p,q.函数y=ex,y=ln x互为反函数,则它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x-e垂直于直线y=x,因此直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象的交点关于直线y=x对称,即点(p,q)在直线y=-x-e上,则p+q=-e,f(x)=ex-ex,于是f(0)=1,f=-e<1,f=-e=e<3×=1,而f-f=-e-=(e--1)>0,所以f(0)>f>f,即a>c>b.

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