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微练(二十三)　导数与函数的极值、最值
　　　　　　　　　　　　　　　　
基础过关
一、单项选择题
1.函数f(x)=ex-ln(ex)在其定义域上(B)
A.有最小值,有最大值 B.有最小值,无最大值
C.无最小值,有最大值 D.无最小值,无最大值
解析　令真数ex>0,则x>0,所以函数f(x)=ex-ln(ex)的定义域为(0,+∞),f'(x)=e-,令f'(x)>0,则x>,令f'(x)<0,则x<,所以函数f(x)在x∈上单调递减,在x∈上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上有最小值f,无最大值.故选B.
2.函数f(x)=(x-1)ex在[-1,2]上的值域为(B)
A. B.[-1,e2]
C.[0,2] D.[-1,e]
解析　f'(x)=xex,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x∈[-1,0],f(x)为单调减函数,x∈(0,2],f(x)为单调增函数,所以f(x)min=f(0)=-1,且f(-1)=-,f(2)=e2,所以f(x)值域为[-1,e2],故选B.
3.已知函数f(x)=ax3-2x满足f'(a)=1,则f(x)的极大值为(C)
A.- B. C. D.-
解析　因为f(x)=ax3-2x,则f'(x)=3ax2-2,由f'(a)=3a3-2=1,解得a=1,可得f(x)=x3-2x,f'(x)=3x2-2,令f'(x)>0,解得x>或x<-;令f'(x)<0,解得-4.已知函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极大值,则a的值是(C)
A.1 B.1或3 C.3 D.4
解析　由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x求导,可得f'(x)=3x2-4ax+a2,因为函数在x=1处取得极大值,则f'(1)=3-4a+a2=0,解得a=1或a=3.当a=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),由f'(x)>0可得x<或x>1,由f'(x)<0可得0可得x<1或x>3,由f'(x)<0可得15.若m∈R,函数f(x)=x2-x+mln x有两个极值点x1,x2(x1A. B. C. D.
解析　由题意有f(x)的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=x-1+=,令f'(x)=0有x2-x+m=0,则x2-x+m=0在(0,+∞)内有两个不同的根x1,x2(x10有0,所以g(x)在单调递增,在单调递减,所以g(x)max=g==,故选B.
6.已知函数y=x3-x2-3x+a,a∈R在区间(t-4,t+4)上有最大值,则实数t的取值范围是(B)
A.(-5,1) B.(-5,1]
C.(-5,3) D.(-5,3]
解析　
由f(x)=x3-x2-3x+a得f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),则f'(x)>0得x<-1或x>3;f'(x)<0得-1二、多项选择题
7.对于函数f(x)=,下列说法正确的是(AC)
A.f(x)在x=处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2)D.若f(x)=a有两个不同的实根,则a的取值范围是
解析　由已知得f'(x)=,令f'(x)>0得0,故f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以f(x)的极大值为f()=,A正确;又令f(x)=0得ln x=0,即x=1,所以f(x)只有1个零点,B不正确;函数在(,+∞)上单调递减,因为2>>>,所以f(2)8.(2026·重庆模拟)若函数f(x)=aln x-2x2+bx既有极小值又有极大值,则(ABC)
A.ab<0 B.a<0
C.b2+16a>0 D.|a-b|<4
解析　由函数f(x)=aln x-2x2+bx,可得f'(x)=-4x+b=,因为f(x)=aln x-2x2+bx既有极小值又有极大值,可得方程-4x2+bx+a=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根,则满足可得所以ab<0,a<0,b2+16a>0,例如:a=-1,b=5时,满足上式,此时|a-b|<4不成立.故选ABC.
三、填空题
9.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a+b的值为 11 .
解析　因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b,由题意可知,即解得或当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,函数f(x)为R上的递增函数,此时函数f(x)无极值,不合题意;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-310.已知函数f(x)=log3(9x+1)-x+2,则f(2x)>f(x+1)的解集为 ∪(1,+∞) .
解析　函数f(x)的定义域为R,f'(x)=-1=,当x<0时,<0,得f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,>0,得f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(-x)=log3(9-x+1)+x+2=log3+x+2=log3(9x+1)-2x+x+2=f(x),故f(x)为R上的偶函数,故f(2x)>f(x+1)等价于f(|2x|)>f(|x+1|),即|2x|>|x+1|,两边平方解得x>1或x<-.所以不等式解集为∪(1,+∞).
11.(2026·南宁模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2的最小值为-1,则实数a的取值范围为 [0,+∞) .
解析　因为f(x)=(x-1)ex+ax2,所以f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),①若a≥0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,当x=0时,f(x)有最小值f(0)=-1.②若a<0,则当x→-∞时,f(x)→-∞,不符合题意.故实数a的取值范围为[0,+∞).
四、解答题
12.已知函数f(x)=(x-a)ln x(a∈R).
(1)若x=1为f(x)的极值点,求a;
(2)当x≥1时,f(x)≥x+a-1恒成立,求a的取值范围.
解　(1)f'(x)=+ln x(x>0),由于x=1为f(x)的极值点,所以f'(x)=1-a=0,解得a=1,当a=1时,令g(x)=f'(x)=+ln x(x>0),则g'(x)=+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)=g(x)g(1)=0,f(x)单调递增,故a=1;
(2)由题意有(x-a)ln x≥x+a-1对于x≥1恒成立,即xln x-x+1≥aln x+a对于x≥1恒成立,当x≥1时,ln x+1≥1,故a≤对于x≥1恒成立,令h(x)=,则x≥1时,h'(x)==+≥0,当且仅当x=1时,h'(x)=0成立,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,所以a≤0.
13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=2x2-3x+λln x.
(1)若λ=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间上有2个极值点,求实数λ的取值范围.
解　(1)依题意,当λ=-1时,f(x)=2x2-3x-ln x,此时函数的定义域为x∈(0,+∞),f'(x)=4x-3-==,令f'(x)>0,即(4x+1)(x-1)>0,解得x>1;令f'(x)<0,即(4x+1)(x-1)<0,解得00,故函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)依题意,f(x)=2x2-3x+λln x,则f'(x)=4x-3+=,令f'(x)=0,得4x2-3x+λ=0,令g(x)=4x2-3x+λ,故问题转化为g(x)=0在区间内有两个不等根,故 解得<λ<,综上所述,实数λ的取值范围为.
素养提升
14.(多选题)已知函数f(x)=-x3+ax2+x在x=1处有极值,则(ACD)
A.f(x)在上单调递增
B.f(x)的极大值为-
C.直线y=x是曲线y=f(x)的切线
D.f+f=
解析　因为f'(x)=-3x2+2ax+1,f(x)在x=1处有极值,所以f'(1)=-3+2a+1=0,解得a=1;当a=1时,f(x)=-x3+x2+x,f'(x)=-3x2+2x+1=-(3x+1)(x-1),所以当x<-或x>1时,f'(x)<0;当-0;所以f(x)在,(1,+∞)上单调递减,在上单调递增;对于A正确;对于B,f(x)的极大值为f(1)=-1+1+1=1,B错误;对于C,令f'(x)=-3x2+2x+1=1,解得x=0或x=,又f(0)=0,所以y=f(x)在(0,f(0))处的切线为y=x,C正确;对于D,f+f=+--++=,D正确.故选ACD.
15.在等比数列{an}中,a1,a5是函数f(x)=x2-12x+tln(3x)的两个极值点,若a2a4=4a3-8,则t的值为 16 .
解析　f(x)=x2-12x+tln(3x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-12+=,由题意得a1,a5是方程2x2-12x+t=0的两个不相等的正根,故Δ=144-8t>0,解得t<18,又a1a5=>0,故t>0,因为{an}为等比数列,所以=a2a4=a1a5=,其中a3=a1q2>0,故a3=,所以4-8=,解得t=16,满足要求.
16.(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
解　(1)f(x)=ln x--x,f'(x)=+-1=2 (3x+2)(x-1)=0,因为x>0,所以x=1,故切点为(1,-3),k=2,所以切线方程为y+3=2(x-1),即y=2x-5.
(2)f'(x)=--1,因为x=1为f(x)的极小值点,所以f'(1)=a-b-1=0,a=b+1,所以f'(x)=-=-,x>0.①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0 x=1,此时当00,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)在x=1取得极大值,舍去.②当b=1时,f'(x)=-≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)不存在极值,舍去.③当00,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时,f(x)在x=1取得极大值,舍去.④当b>1时,当00,f(x)单调递增;当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1取得极小值,符合.综上,b的取值范围为(1,+∞).微练(二十三)　导数与函数的极值、最值
　　　　　　　　　　　　　
基础过关
一、单项选择题
1.函数f(x)=ex-ln(ex)在其定义域上(　　)
A.有最小值,有最大值
B.有最小值,无最大值
C.无最小值,有最大值
D.无最小值,无最大值
2.函数f(x)=(x-1)ex在[-1,2]上的值域为(　　)
A. B.[-1,e2]
C.[0,2] D.[-1,e]
3.已知函数f(x)=ax3-2x满足f'(a)=1,则f(x)的极大值为(　　)
A.- B.
C. D.-
4.已知函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极大值,则a的值是(　　)
A.1 B.1或3
C.3 D.4
5.若m∈R,函数f(x)=x2-x+mln x有两个极值点x1,x2(x1A. B. C. D.
6.已知函数y=x3-x2-3x+a,a∈R在区间(t-4,t+4)上有最大值,则实数t的取值范围是(　　)
A.(-5,1) B.(-5,1]
C.(-5,3) D.(-5,3]
二、多项选择题
7.对于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在x=处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2)D.若f(x)=a有两个不同的实根,则a的取值范围是
8.(2026·重庆模拟)若函数f(x)=aln x-2x2+bx既有极小值又有极大值,则(　　)
A.ab<0 B.a<0
C.b2+16a>0 D.|a-b|<4
三、填空题
9.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a+b的值为　　　　.
10.已知函数f(x)=log3(9x+1)-x+2,则f(2x)>f(x+1)的解集为　　　　.
11.(2026·南宁模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2的最小值为-1,则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题
12.已知函数f(x)=(x-a)ln x(a∈R).
(1)若x=1为f(x)的极值点,求a;
(2)当x≥1时,f(x)≥x+a-1恒成立,求a的取值范围.
13.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=2x2-3x+λln x.
(1)若λ=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间上有2个极值点,求实数λ的取值范围.
素养提升
14.(多选题)已知函数f(x)=-x3+ax2+x在x=1处有极值,则(　　)
A.f(x)在上单调递增
B.f(x)的极大值为-
C.直线y=x是曲线y=f(x)的切线
D.f+f=
15.在等比数列{an}中,a1,a5是函数f(x)=x2-12x+tln(3x)的两个极值点,若a2a4=4a3-8,则t的值为　　　　.
16.(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
微练(二十三)　导数与函数的极值、最值
1.B　解析　令真数ex>0,则x>0,所以函数f(x)=ex-ln(ex)的定义域为(0,+∞),f'(x)=e-,令f'(x)>0,则x>,令f'(x)<0,则x<,所以函数f(x)在x∈上单调递减,在x∈上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上有最小值f,无最大值.故选B.
2.B　解析　f'(x)=xex,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x∈[-1,0],f(x)为单调减函数,x∈(0,2],f(x)为单调增函数,所以f(x)min=f(0)=-1,且f(-1)=-,f(2)=e2,所以f(x)值域为[-1,e2],故选B.
3.C　解析　因为f(x)=ax3-2x,则f'(x)=3ax2-2,由f'(a)=3a3-2=1,解得a=1,可得f(x)=x3-2x,f'(x)=3x2-2,令f'(x)>0,解得x>或x<-;令f'(x)<0,解得-4.C　解析　由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x求导,可得f'(x)=3x2-4ax+a2,因为函数在x=1处取得极大值,则f'(1)=3-4a+a2=0,解得a=1或a=3.当a=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),由f'(x)>0可得x<或x>1,由f'(x)<0可得0可得x<1或x>3,由f'(x)<0可得15.B　解析　由题意有f(x)的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=x-1+=,令f'(x)=0有x2-x+m=0,则x2-x+m=0在(0,+∞)内有两个不同的根x1,x2(x10有0,所以g(x)在单调递增,在单调递减,所以g(x)max=g==,故选B.
6.B　解析　由f(x)=x3-x2-3x+a得f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),则f'(x)>0得x<-1或x>3;f'(x)<0得-17.AC　解析　由已知得f'(x)=,令f'(x)>0得0,故f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以f(x)的极大值为f()=,A正确;又令f(x)=0得ln x=0,即x=1,所以f(x)只有1个零点,B不正确;函数在(,+∞)上单调递减,因为2>>>,所以f(2)8.ABC　解析　由函数f(x)=aln x-2x2+bx,可得f'(x)=-4x+b=,因为f(x)=aln x-2x2+bx既有极小值又有极大值,可得方程-4x2+bx+a=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根,则满足所以ab<0,a<0,b2+16a>0,例如:a=-1,b=5时,满足上式,此时|a-b|<4不成立.故选ABC.
9.11　解析　因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b,由题意可知,当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,函数f(x)为R上的递增函数,此时函数f(x)无极值,不合题意;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-310.∪(1,+∞)　解析　函数f(x)的定义域为R,f'(x)=-1=,当x<0时,<0,得f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,>0,得f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(-x)=log3(9-x+1)+x+2=log3+x+2=log3(9x+1)-2x+x+2=f(x),故f(x)为R上的偶函数,故f(2x)>f(x+1)等价于f(|2x|)>f(|x+1|),即|2x|>|x+1|,两边平方解得x>1或x<-.所以不等式解集为∪(1,+∞).
11.[0,+∞)　解析　因为f(x)=(x-1)ex+ax2,所以f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),①若a≥0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,当x=0时,f(x)有最小值f(0)=-1.②若a<0,则当x→-∞时,f(x)→-∞,不符合题意.故实数a的取值范围为[0,+∞).
12.解　(1)f'(x)=+ln x(x>0),由于x=1为f(x)的极值点,所以f'(x)=1-a=0,解得a=1,当a=1时,令g(x)=f'(x)=+ln x(x>0),则g'(x)=+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)=g(x)g(1)=0,f(x)单调递增,故a=1;
(2)由题意有(x-a)ln x≥x+a-1对于x≥1恒成立,即xln x-x+1≥aln x+a对于x≥1恒成立,当x≥1时,ln x+1≥1,故a≤对于x≥1恒成立,令h(x)=,则x≥1时,h'(x)==+≥0,当且仅当x=1时,h'(x)=0成立,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,所以a≤0.
13.解　(1)依题意,当λ=-1时,f(x)=2x2-3x-ln x,此时函数的定义域为x∈(0,+∞),f'(x)=4x-3-==,令f'(x)>0,即(4x+1)(x-1)>0,解得x>1;令f'(x)<0,即(4x+1)(x-1)<0,解得00,故函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)依题意,f(x)=2x2-3x+λln x,则f'(x)=4x-3+=,令f'(x)=0,得4x2-3x+λ=0,令g(x)=4x2-3x+λ,故问题转化为g(x)=0在区间内有两个不等根,故 <λ<,综上所述,实数λ的取值范围为.
14.ACD　解析　因为f'(x)=-3x2+2ax+1,f(x)在x=1处有极值,所以f'(1)=-3+2a+1=0,解得a=1;当a=1时,f(x)=-x3+x2+x,f'(x)=-3x2+2x+1=-(3x+1)(x-1),所以当x<-或x>1时,f'(x)<0;当-0;所以f(x)在,(1,+∞)上单调递减,在上单调递增;对于A正确;对于B,f(x)的极大值为f(1)=-1+1+1=1,B错误;对于C,令f'(x)=-3x2+2x+1=1,解得x=0或x=,又f(0)=0,所以y=f(x)在(0,f(0))处的切线为y=x,C正确;对于D,f+f=+--++=,D正确.故选ACD.
15.16　解析　f(x)=x2-12x+tln(3x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-12+=,由题意得a1,a5是方程2x2-12x+t=0的两个不相等的正根,故Δ=144-8t>0,解得t<18,又a1a5=>0,故t>0,因为{an}为等比数列,所以=a2a4=a1a5=,其中a3=a1q2>0,故a3=,所以4-8=,解得t=16,满足要求.
16.解　(1)f(x)=ln x--x,f'(x)=+-1=2 (3x+2)(x-1)=0,因为x>0,所以x=1,故切点为(1,-3),k=2,所以切线方程为y+3=2(x-1),即y=2x-5.
(2)f'(x)=--1,因为x=1为f(x)的极小值点,所以f'(1)=a-b-1=0,a=b+1,所以f'(x)=-=-,x>0.①当b≤0时,x-b>0,令f'(x)=0 x=1,此时当00,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)在x=1取得极大值,舍去.②当b=1时,f'(x)=-≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)不存在极值,舍去.③当00,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时,f(x)在x=1取得极大值,舍去.④当b>1时,当00,f(x)单调递增;当x>b时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)在x=1取得极小值,符合.综上,b的取值范围为(1,+∞).

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