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微练(二十五)　导数与不等式证明
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2026·广州模拟)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当x<时,f(x)<-4(2x-1).
解　(1)f(x)定义域为{x|x≠1},f'(x)=.由f'(x)>0可得x>或x<0,由f'(x)<0可得0(2)证明:当x<时,有x-1<0,2x-1<0,原不等式f(x)<-4(2x-1)等价于ex<-4(x-1),即要证明ex+4(x-1)<0.设g(x)=ex+4(x-1),则g'(x)=ex+4>0,此时g(x)在单调递增,于是g(x)2.(2026·合肥模拟)已知函数f(x)=ex+x2-x-1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)证明:ex+xln x+x2-2x>0.
解　(1)由题意可得f'(x)=ex+2x-1,则函数f'(x)在R上单调递增,且f'(0)=0.所以由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)<0,得x<0.则f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=0.
(2)证明:要证ex+xln x+x2-2x>0,即证ex+x2-x-1>-xln x+x-1.由(1)可知当x>0时,f(x)>0恒成立.设g(x)=-xln x+x-1,x>0,则g'(x)=-ln x.由g'(x)>0,得01.则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而g(x)≤g(1)=0,故f(x)>g(x),即ex+xln x+x2-2x>0.
3.已知函数f(x)=xln x+x.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)证明:ln x+1>-.
解　(1)f'(x)=ln x+2,令f'(x)=ln x+2=0可得x=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f=-.
(2)证明:因为x>0,所以只需证明xln x+x>-,下面分别研究左、右两边,考虑证明左边的最小值大于右边的最大值.设g(x)=-,则g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=-,所以g(x)≤-,由(1)知f(x)=xln x+x≥-.又因为g(x)≤-取等号时x=1,f(x)=xln x+x≥-取等号时x=,所以等号不能同时取到,故xln x+x>-,则原不等式得证.
4.已知函数f(x)=ln x+-1.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)证明:++…+解　(1)由题可知函数f(x)的定义域为{x|x>0}.因为f(x)=ln x+-1,所以f'(x)=-=,令f'(x)=0,得x=1.列表如下
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的极小值为f(1)=0,无极大值.
(2)证明:由(1)知f(x)≥0,即ln x+-1≥0,即ln x≥1-=,所以ln(x+1)≥(当x=0时,“=”成立).令x=(n∈N*),则ln>=,则ln>,即ln(1+n)-ln n>.所以累加可得ln(2n)-ln n>++…+.即ln 2>+++…+.微练(二十五)　导数与不等式证明
　　　　　　　　　　　　　
1.(2026·广州模拟)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当x<时,f(x)<-4(2x-1).
2.(2026·合肥模拟)已知函数f(x)=ex+x2-x-1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)证明:ex+xln x+x2-2x>0.
3.已知函数f(x)=xln x+x.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)证明:ln x+1>-.
4.已知函数f(x)=ln x+-1.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)证明:++…+微练(二十五)　导数与不等式证明
1.解　(1)f(x)定义域为{x|x≠1},f'(x)=.由f'(x)>0可得x>或x<0,由f'(x)<0可得0(2)证明:当x<时,有x-1<0,2x-1<0,原不等式f(x)<-4(2x-1)等价于ex<-4(x-1),即要证明ex+4(x-1)<0.设g(x)=ex+4(x-1),则g'(x)=ex+4>0,此时g(x)在单调递增,于是g(x)2.解　(1)由题意可得f'(x)=ex+2x-1,则函数f'(x)在R上单调递增,且f'(0)=0.所以由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)<0,得x<0.则f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=0.
(2)证明:要证ex+xln x+x2-2x>0,即证ex+x2-x-1>-xln x+x-1.由(1)可知当x>0时,f(x)>0恒成立.设g(x)=-xln x+x-1,x>0,则g'(x)=-ln x.由g'(x)>0,得01.则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而g(x)≤g(1)=0,故f(x)>g(x),即ex+xln x+x2-2x>0.
3.解　(1)f'(x)=ln x+2,令f'(x)=ln x+2=0可得x=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f=-.
(2)证明:因为x>0,所以只需证明xln x+x>-,下面分别研究左、右两边,考虑证明左边的最小值大于右边的最大值.设g(x)=-,则g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=-,所以g(x)≤-,由(1)知f(x)=xln x+x≥-.又因为g(x)≤-取等号时x=1,f(x)=xln x+x≥-取等号时x=,所以等号不能同时取到,故xln x+x>-,则原不等式得证.
4.解　(1)由题可知函数f(x)的定义域为{x|x>0}.因为f(x)=ln x+-1,所以f'(x)=-=,令f'(x)=0,得x=1.列表如下
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的极小值为f(1)=0,无极大值.
(2)证明:由(1)知f(x)≥0,即ln x+-1≥0,即ln x≥1-=,所以ln(x+1)≥(当x=0时,“=”成立).令x=(n∈N*),则ln>=,则ln>,即ln(1+n)-ln n>.所以累加可得ln(2n)-ln n>++…+.即ln 2>+++…+.

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