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微练(二十四)　导数中的函数构造问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(D)
A.bC.c解析　设f(x)=,x>0,则f'(x)=,由f'(x)=0,得x=e,当00,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)的增区间为(0,e),减区间为(e,+∞),又f(2)===f(4),因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(3)>f(2)>f(5),所以c2.若a=,b=,c=,则(B)
A.aC.b解析　因为a==>0,b=>0,c=>0,所以ln a=,ln b=,ln c=.设函数f(x)=,则f'(x)=,当x∈[e,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,所以f(4)3.(2026·福州模拟)已知a=ln ,b=ln(ln 3),c=-,则(B)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
解析　因为b=ln(ln 3)>ln(ln e)=0,而a=ln<0,c<0,所以b最大,构造函数f(x)=xln x(x>0),因为f'(x)=ln x+1(x>0),当0时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,又因为a=f ,c=f,所以f >f ,即a>c,故b>a>c.
4.(2026·南京模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)A.f(ln 3)>3f(0) B.f(2)C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)
解析　由题意,构造函数g(x)=,则g'(x)=<0对任意的x∈R恒成立,所以g(x)在R上是减函数.对A,因为ln 3>0,所以g(ln 3)0,所以<=,即f(ln 2)<2f(0),故C错误.对B、D,因为g(2)5.设x>0,y>0,若ex+ln y>x+y,则下列选项正确的是(B)
A.x>y B.x>ln y
C.x解析　不等式ex+ln y>x+y等价于ex-x>y-ln y,令f(x)=ex-x,则f(ln y)=eln y-ln y=y-ln y,所以不等式ex-x>y-ln y等价于f(x)>f(ln y),因为f'(x)=ex-1,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以若y∈(1,+∞),则ln y∈(0,+∞),由f(x)>f(ln y)有x>ln y;若y∈(0,1],则ln y≤0,由x>0,有x>ln y.综上所述,x>ln y.
6.定义域为R的函数y=f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+2)f(x)=-1,且当x∈(0,4]时,xf'(x)-f(x)>0,则4f(2 025),2f(2 026),f(2 024)的大小关系是(A)
A.4f(2 025)<2f(2 026)B.2f(2 026)<4f(2 025)C.f(2 024)<2f(2 026)<4f(2 025)
D.4f(2 025)解析　依题意知,对任意x∈R,都有f(x+2)f(x)=-1,可得f(x+2)=-,则f(x+4)=-=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.构造函数F(x)=(00,所以F(x)在区间(0,4]上单调递增,所以F(1)7.设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(C)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(3,+∞) D.(-∞,3)
解析　f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,设g(x)=f(x)-3=sin x+ex-e-x-x,又易知g(-x)=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数,又g'(x)=cos x+ex+e-x-1≥cos x+2-1=1+cos x≥0,所以g(x)在R上是增函数,又f(x)+f(3-2x)<6,所以[f(x)-3]+[f(3-2x)-3]<0,所以g(x)+g(3-2x)<0,所以g(x)<-g(3-2x),又g(x)为R上的奇函数,所以g(x)3,故满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(3,+∞).
8.若关于x的不等式ex+x+ln ≥mx+ln m恒成立,则实数m的最大值为(B)
A.2 B.e C.3 D.e2
解析　由题意得,m>0,x>0,不等式等价于ex+x≥mx+ln(mx)恒成立,即ex+ln ex≥mx+ln(mx)恒成立,令f(x)=x+ln x,则不等式转化为f(ex)≥f(mx),因为f'(x)=1+>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以ex≥mx,则≥m.令g(x)=,x>0,则g'(x)=,则当01时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以当x=1时,g(x)有最小值,即g(x)min=g(1)=e,则m≤e,则m的最大值为e.
二、多项选择题
9.(2026·邯郸模拟)已知a>0,b∈R,e是自然对数的底数,若b+eb=a+ln a,则a-b的值可以是(BCD)
A.-1 B.1 C.2 D.3
解析　设函数f(x)=x+ex,则f(x)在R上是增函数,所以b+eb-(a+ln a)=b+eb-(ln a+eln a)=f(b)-f(ln a)=0,所以b=ln a,即a=eb,所以a-b=eb-b,令g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=1,从而a-b≥1,结合选项,选项BCD符合题意.
10.(2026·池州模拟)下列不等关系中正确的是(ABD)
A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1)
C.cos< D.sin +>π
解析　对于A项,由ln 2=,构造函数f(x)=(x>0),则f'(x)==,当00,则f(x)在(0,e2)上单调递增,所以f(4)1,则m'(x)=>0在(1,+∞)上恒成立,故函数m(x)在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>1,故m(a)>m(b),即>,故bea>aeb,故B项正确;对于C项,因为cos< cos<1-=1-×,故构造函数f(x)=cos x-1+x2(x>0),则f'(x)=x-sin x,令g(x)=x-sin x,则g'(x)=1-cos x≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)>g(0),即f'(x)>f'(0)=0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f=cos->f(0)=0,故C项错误;对于D项,sin+>π sin>π- sin>π- sin<-π,由C项分析可知-π>sin,故D项正确.
三、填空题
11.(2026·长春模拟)不等式xex+≥0(a<0)对 x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 [-e,0) .
解析　由xex+≥0可得xex≥-=-aln x·e-aln x,令f(x)=xex(x>0),则f'(x)=(x+1)ex>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为a<0,x∈(1,+∞),则-aln x>0,则f(x)≥f(-aln x),可得x≥-aln x,即a≥-对 x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=,x>1,则g'(x)=,由g'(x)=0可得x=e,故当1e时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(e)=e,得a≥=-e,又a<0,所以-e≤a<0.
12.(2026·渭南模拟)已知实数x1,x2满足=,ln x2=,则x1= 4 .
解析　由=,可得x1=4,故x1>0,由ln x2=,可得ln =4,可得·ln =4,故ln >0,令f(x)=xex,则f(x1)=f(ln ),f'(x)=(x+1)ex,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.由f(x1)=f(ln )得x1=ln ,所以=,因为x1=4,所以x1=x1=4.
13.设f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cos x<0,则不等式f(x)解析　令φ(x)=f(x)-sin x,所以当x≥0时,φ'(x)=f'(x)-cos x<0,所以φ(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为R上的奇函数,所以φ(x)为R上的奇函数,所以φ(x)在(-∞,0]上单调递减,故φ(x)在R上单调递减且φ(0)=0,不等式f(x)0,所以原不等式的解集为(0,+∞).
14.已知a>0,若在(1,+∞)上存在x使得不等式ex-x≤xa-aln x成立,则a的最小值为 e .
解析　因为xa==ealn x,所以不等式即为ex-x≤ealn x-aln x,因为a>0且x>1,所以aln x>0,设y=ex-x,x>0,则y'=ex-1>0,故y=ex-x在(0,+∞)上单调递增,所以11),则f'(x)=,当x∈(1,e)时,f'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e,所以a≥e.故a的最小值为e.微练(二十四)　导数中的函数构造问题
　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.bC.c2.若a=,b=,c=,则(　　)
A.aC.b3.(2026·福州模拟)已知a=ln ,b=ln(ln 3),c=-,则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
4.(2026·南京模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)A.f(ln 3)>3f(0) B.f(2)C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)
5.设x>0,y>0,若ex+ln y>x+y,则下列选项正确的是(　　)
A.x>y B.x>ln y
C.x6.定义域为R的函数y=f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+2)f(x)=-1,且当x∈(0,4]时,xf'(x)-f(x)>0,则4f(2 025),2f(2 026),f(2 024)的大小关系是(　　)
A.4f(2 025)<2f(2 026)B.2f(2 026)<4f(2 025)C.f(2 024)<2f(2 026)<4f(2 025)
D.4f(2 025)7.设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(3,+∞) D.(-∞,3)
8.若关于x的不等式ex+x+ln ≥mx+ln m恒成立,则实数m的最大值为(　　)
A.2 B.e C.3 D.e2
二、多项选择题
9.(2026·邯郸模拟)已知a>0,b∈R,e是自然对数的底数,若b+eb=a+ln a,则a-b的值可以是(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
10.(2026·池州模拟)下列不等关系中正确的是(　　)
A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1)
C.cos< D.sin +>π
三、填空题
11.(2026·长春模拟)不等式xex+≥0(a<0)对 x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.
12.(2026·渭南模拟)已知实数x1,x2满足=,ln x2=,则x1=　　　　.
13.设f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cos x<0,则不等式f(x)14.已知a>0,若在(1,+∞)上存在x使得不等式ex-x≤xa-aln x成立,则a的最小值为　　　　.
微练(二十四)　导数中的函数构造问题
1.D　解析　设f(x)=,x>0,则f'(x)=,由f'(x)=0,得x=e,当00,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)的增区间为(0,e),减区间为(e,+∞),又f(2)===f(4),因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(3)>f(2)>f(5),所以c2.B　解析　因为a==>0,b=>0,c=>0,所以ln a=,ln b=,ln c=.设函数f(x)=,则f'(x)=,当x∈[e,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,所以f(4)3.B　解析　因为b=ln(ln 3)>ln(ln e)=0,而a=ln<0,c<0,所以b最大,构造函数f(x)=xln x(x>0),因为f'(x)=ln x+1(x>0),当0时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,又因为a=f ,c=f ,所以f >f ,即a>c,故b>a>c.
4.B　解析　由题意,构造函数g(x)=,则g'(x)=<0对任意的x∈R恒成立,所以g(x)在R上是减函数.对A,因为ln 3>0,所以g(ln 3)0,所以<=,即f(ln 2)<2f(0),故C错误.对B、D,因为g(2)5.B　解析　不等式ex+ln y>x+y等价于ex-x>y-ln y,令f(x)=ex-x,则f(ln y)=eln y-ln y=y-ln y,所以不等式ex-x>y-ln y等价于f(x)>f(ln y),因为f'(x)=ex-1,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以若y∈(1,+∞),则ln y∈(0,+∞),由f(x)>f(ln y)有x>ln y;若y∈(0,1],则ln y≤0,由x>0,有x>ln y.综上所述,x>ln y.
6.A　解析　依题意知,对任意x∈R,都有f(x+2)f(x)=-1,可得f(x+2)=-,则f(x+4)=-=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.构造函数F(x)=(00,所以F(x)在区间(0,4]上单调递增,所以F(1)7.C　解析　f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,设g(x)=f(x)-3=sin x+ex-e-x-x,又易知g(-x)=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数,又g'(x)=cos x+ex+e-x-1≥cos x+2-1=1+cos x≥0,所以g(x)在R上是增函数,又f(x)+f(3-2x)<6,所以[f(x)-3]+[f(3-2x)-3]<0,所以g(x)+g(3-2x)<0,所以g(x)<-g(3-2x),又g(x)为R上的奇函数,所以g(x)3,故满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(3,+∞).
8.B　解析　由题意得,m>0,x>0,不等式等价于ex+x≥mx+ln(mx)恒成立,即ex+ln ex≥mx+ln(mx)恒成立,令f(x)=x+ln x,则不等式转化为f(ex)≥f(mx),因为f'(x)=1+>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以ex≥mx,则≥m.令g(x)=,x>0,则g'(x)=,则当01时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以当x=1时,g(x)有最小值,即g(x)min=g(1)=e,则m≤e,则m的最大值为e.
9.BCD　解析　设函数f(x)=x+ex,则f(x)在R上是增函数,所以b+eb-(a+ln a)=b+eb-(ln a+eln a)=f(b)-f(ln a)=0,所以b=ln a,即a=eb,所以a-b=eb-b,令g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=1,从而a-b≥1,结合选项,选项BCD符合题意.
10.ABD　解析　对于A项,由ln 2=,构造函数f(x)=(x>0),则f'(x)==,当00,则f(x)在(0,e2)上单调递增,所以f(4)1,则m'(x)=>0在(1,+∞)上恒成立,故函数m(x)在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>1,故m(a)>m(b),即>,故bea>aeb,故B项正确;对于C项,因为cos< cos<1-=1-×,故构造函数f(x)=cos x-1+x2(x>0),则f'(x)=x-sin x,令g(x)=x-sin x,则g'(x)=1-cos x≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)>g(0),即f'(x)>f'(0)=0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f=cos->f(0)=0,故C项错误;对于D项,sin+>π sin>π- sin>π- sin<-π,由C项分析可知-π>sin,故D项正确.
11.[-e,0)　解析　由xex+≥0可得xex≥-=-aln x·e-aln x,令f(x)=xex(x>0),则f'(x)=(x+1)ex>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为a<0,x∈(1,+∞),则-aln x>0,则f(x)≥f(-aln x),可得x≥-aln x,即a≥-对 x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=,x>1,则g'(x)=,由g'(x)=0可得x=e,故当1e时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(e)=e,得a≥=-e,又a<0,所以-e≤a<0.
12.4　解析　由=,可得x1=4,故x1>0,由ln x2=,可得ln =4,可得·ln =4,故ln >0,令f(x)=xex,则f(x1)=f(ln ),f'(x)=(x+1)ex,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.由f(x1)=f(ln )得x1=ln ,所以=,因为x1=4,所以x1=x1=4.
13.(0,+∞)　解析　令φ(x)=f(x)-sin x,所以当x≥0时,φ'(x)=f'(x)-cos x<0,所以φ(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为R上的奇函数,所以φ(x)为R上的奇函数,所以φ(x)在(-∞,0]上单调递减,故φ(x)在R上单调递减且φ(0)=0,不等式f(x)0,所以原不等式的解集为(0,+∞).
14.e　解析　因为xa==ealn x,所以不等式即为ex-x≤ealn x-aln x,因为a>0且x>1,所以aln x>0,设y=ex-x,x>0,则y'=ex-1>0,故y=ex-x在(0,+∞)上单调递增,所以11),则f'(x)=,当x∈(1,e)时,f'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e,所以a≥e.故a的最小值为e.

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