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高一数学
注意事项：
1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．已知，，，则的取值范围为
A． B．
C． D．
4．已知集合，，则
A． B． C． D．
5．若存在实数满足，使得不等式成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知集合，，则满足条件的集合的个数
为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．不等式的解集是
A． B．
C． D．
8．某科技公司对100名职场人士进行“AI工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过A类（AI写作助手）、B类（AI绘图工具）、C类（AI会议助手）三类AI工具中的一类．调查数据显示使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人；A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人；三类工具都使用过的有8人，则B类和C类工具都使用过的人数为
A．5 B．13 C．15 D．20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
10．下列说法正确的是
A．已知，均为实数，则“”是“”的充分不必要条件
B．“关于的不等式的解集为”的充要条件是“”
C．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是“”
D．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是“”
11．已知集合，，则下列结论中正确的是
A．若，则
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若“，”为真命题，则实数的取值范围是．
13．设集合，，若，则实数的取值集合为．
14．已知正数，满足（是常数且），若的最小值为12，则．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合，，其中．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．（15分）（1）若，，证明：；
（2）判断与的大小关系，并证明你的结论．
17．（15分）某助农企业通过直播带货销售一种特色农产品礼盒．已知该项目的年固定成本（设备、场地等）为100万元．每销售（）千箱礼盒，需投入的变动成本（采购、物流等）为万元．根据市场定价，每箱礼盒的售价为500元．假设礼盒能全部售出．
（1）求该企业的年利润（万元）关于年销售量（千箱）的函数解析式，并求年销售量为多少时，年利润最大；（利润=销售收入-固定成本-变动成本）
（2）求每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量，并求出每箱礼盒的最低平均成本．（平均成本=(固定成本+变动成本)÷销量）
18．（17分）已知正实数，满足．
（1）求的最大值；
（2）若不等式对任意满足条件的，都成立，求实数的取值范围；
（3）设，若存在实数满足，使得不等式成立，求的取值范围．
19．（17分）已知集合是由正整数构成的非空集合，定义集合，集合．
（1）若集合，直接写出集合，；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，且，求集合中元素个数的最大值．
1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．B
二、选择题
9．AD 10．BCD 11．ABC
三、填空题
12．（写也对） 13． 14．5
四、解答题
15．解析（1）由，得，解得．
所以． （2分）
当时，不等式，即，
解得．
所以． （4分）
所以． （5分）
（2）由，得，即．
因为，所以．
所以，此时． （8分）
由是的充分不必要条件，得．
所以解得． （11分）
当时，，此时，不是的真子集，不符合题意；
当时，且，此时成立．
所以实数的取值范围是．（结果写成不等式不扣分） （13分）
16．解析（1）
（*）．
因为，，所以，，且，故（*）式整体大于或等于0．
故． （6分）
（2）． （8分）
证明：因为，，
所以要证，只需证． （11分）
两边平方，得，展开，得，
则原不等式等价于． （13分）
上式两边平方，得，该不等式成立，
故成立． （15分）
17．解析（1）由题意可知，每千箱礼盒的售价为50万元，
所以． （3分）
因为，，
所以当时，取得最大值300．
故所求的函数解析式为，当年销售量为2万箱时，年利润最大． （7分）
（2）设每千箱礼盒的平均成本为万元．
根据题意，得， （10分）
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以每箱礼盒的平均成本最低时的年销售量是1万箱． （13分）
每千箱礼盒的平均成本最低为（万元），
所以每箱礼盒的最低平均成本为（元）． （15分）
18．解析（1）由基本不等式，得，当且仅当时等号成立．
所以，
即的最大值为． （3分）
（2）因为，所以．
因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值为． （7分）
由题意知，，即，
解得．
故实数的取值范围是．（结果写成不等式不扣分） （10分）
（3）因为，所以．
由（1）知，，
所以，即． （12分）
令，则．
因为，所以．
所以函数在处取得最小值，且． （14分）
根据题意得，即，即．
解得或．
结合，得．
所以的取值范围是．（结果写成不等式不扣分） （17分）
19．解析（1），． （4分）
（2）由题意知，中的最小元素为，即对于任意，都有． （5分）
中包含的相邻元素的差：，．
根据条件可知，，． （7分）
由，得，所以．
由，得，所以．
综上所述，得证． （9分）
（3）设集合的元素个数为，将中元素从小到大排列为，，，．
由（2）中的分析可知，（），所以． （10分）
所以． （12分）
因为，所以且．
所以，解得．
因为为整数，所以的最大值为1013． （15分）
验证存在性：取（即1到2025的所有奇数），此时．
因为奇数与奇数的和、差都是偶数，所以，．
显然中元素除了0以外，都在中，即．
故集合中元素个数的最大值为1013． （17分）

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