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4.1.2空间几何体的直观图题型分类练习
学习目标：
1．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2．会用斜二测画法画出简单组合体的直观图，并能进行相关计算.
方法要点：
1.平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段平行性不变，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
2. 平面多边形与其直观图面积间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
典型例题：
题型一、平面图形的直观图的画法
例题1：
1．用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．
变式1：
2．画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．

题型二、空间几何体的直观图
例题2：
3．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
变式2：
4．画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图．
题型三、直观图的还原与计算
例题3：
5．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图.
(1)画出它的原图形；
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
变式3：
6．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．

课堂检测：
7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形
C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等
8．如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）．
A．4 B． C． D．8
11．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________.
试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．
（1）在已知的正五边形中，取正五边形的中心O为坐标原点，
对称轴为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴．分别过点B，E作、
，与x轴分别交于G，H．画对应的，，使．
（2）以点为中点，在轴上取，分别过，
在轴的上方作，，并使，；
在轴上轴的上方，取，在轴的下方，取，
并以点为中点画，且．
（3）连接，，，，所得的五边形就是正五边形
的直观图．
2．
第一步：已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系，画相应的轴和轴，使,
第二步：在轴上截取，在轴上截取，过点作轴的平行线，在沿轴正方向取点，使得，连接,
第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图.

3．
（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
AI（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
4．
画法：（1）画轴．
画x轴、y轴、z轴，（或），，如图（1）．
（2）画底面．
以O为中心在平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图．
（3）画顶点，在z轴上截取，使．
（4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，被遮挡住的线段，，改成虚线，得四棱锥的直观图如图（2）．
5．(1)
(2)，
（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使，
连接，，则即为原来的图形，如图②所示：
（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，.
所以.
故原图形中边上的高为，原图形的面积为.
6．
由题可知，，，∴．
还原直观图可得原平面图形，如图所示：

则，，，
∴，
∴原平面图形的周长为．
7．B
解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误；
对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确；
对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误；
对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误.
故选：B.
8．B
等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确，
③为的直观图，④为的直观图.

故可能是的直观图的有：③④.
故选：B.
9．D
由题意，且，则，
所以原梯形是上下底分别为，高为的直角梯形，则其面积为.
故选：D
10．A
因为，，
所以，
如图所示，还原直观图得原图：
所以，
则原平面图形的面积为.
故选：A.
11．
根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得，
将直观图还原为原图，如图所示，
则，，
所以在中由勾股定理得：，
因为且，
所以四边形为平行四边形，
所以原四边形的周长为.
答案第1页（共2页）
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