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4.2平面同步练习
知识要点
1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.平面是向四周无限延展的.
(2)平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.
2.点、线、面之间的关系及符号表示：A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈α
A在α外 A α
l在α内 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
3.平面的性质
基 本事 实 文字语言 图形语言 符号语言
基 本事实1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基 本事实2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基 本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
4.基本事实2的三个推论
推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.如图(1).
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.如图(2).
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.如图(3).
公式概念应用
1．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面. ( )
2．22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些. ( )
3．直线与直线相交于点，可用符号表示为.( )
4．下列结论正确的是（ ）
A．三个点确定一个平面
B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行
C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内
D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
5．若一直线a在平面内，则正确的作图是（ ）
A． B．
C． D．
基础巩固
1．下列有关平面的说法正确的是（ ）
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
2．下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）．
A．两个点； B．三个点；
C．两条相交直线 D．一条直线和一个点
3．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
4．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（ ）
A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙
B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整
C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平
D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交
5．如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．

能力提升
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．不共线3点确定一个平面
C．过一条直线的平面有无数多个
D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段
7．当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（ ）部分．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面.
9．在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
① 三点共线；
② 四点共面；
③ 四点共面；
④ 四点共面.
A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④
10．如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
参考答案
1．错误
2．错误
3．正确
直线与直线相交于点，可用符号表示为
4．C
三个不共线的点确定一个平面，A错误；
若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误；
若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确；
若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平面相交与一点，D错误.
故选：C
5．A
B选项中直线超出平面，故B选项错误；
C选项中没有画出直线，故C选项错误；
D选项直线与平面相交，故D选项错误.
故选：A.
基础巩固
1．D
对于A，我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，平行四边形是平面上四条线段构成的图形，是不能无限延展的，故A错误；
对于B，平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，而平面是无限延展的，无法度量，故B错误；
对于C，太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；
对于D，在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确.
故选：D
2．C
对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误；
对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误；
对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确；
对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误.
故选：C.
3．C
因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面，
又点C在平面上，所以平面，
因为平面，点在直线AB上，所以平面，
又平面，所以平面，
所以与的交线是直线.
故选：C.
4．D
对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是；
对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是；
对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是；
对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面，
两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是.
故选：D
5．、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线
O是中点，则O是中点，故平面，
与截面交于P，故，故平面，又平面，
故、、平面，又、、平面，
故、、在平面和平面的交线上.
故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线.
6．BC
对于A，当点在直线上时，这个点和这条直线不能确定一个平面，A错误；
对于B，不共线3点确定一个平面，正确；
对于C，过一条直线的平面有无数多个，正确；
对于D，两个平面的公共点组成的集合，是一条直线，D错误，
故选：BC
7．BCD
三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）；
三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）；
三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）；
故选：BCD.

8．
证明：因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
所以，
所以，
所以四点E，F，G，H共面.
9．A
解：∵，平面，∴平面.
∵，平面，∴平面，
∴是平面和平面的公共点；
同理可得，点和都是平面和平面的公共点，
∴三点，，在平面与平面的交线上，
即，，三点共线.故①正确.
∵，，∴，，确定一个平面，
又，平面，∴平面，故②正确.
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故 四点不共面，故③不正确.
根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故 四点不共面，故④不正确.
故选：A.
10．(1)
证明：连接
在长方体中
、分别是和的中点
、、、四点共面
(2)
证明：
确定一个平面
面
面
对角线与平面交于点
面
在面与面的交线上
面且面
面 面
即点共线.
(3)
证明：延长交于
面
面
面
面
面 面
、、三线共点.
答案第1页（共2页）
答案第1页（共2页）

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