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4.2平面题型分类练习
学习目标：
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.
3.能用三个基本事实证明简单的共面、共线问题.
方法要点：
证明点线共面的常用方法
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面重合.
典型例题：
题型一、三种语言的转换
例题1：
1．用符号表示下列语句，并画出相应的图形．
(1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，；
(2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点．
变式1：
2．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，，．
题型二、点线共面问题
例题2：
3．直线，，直线l和a、b、c分别交于点A、B、C，求证：a、b、c、l共面．
变式2：
4．在正方体中，
(1)与是否在同一平面内？
(2)画出平面与平面的交线．
题型三、点共线、线共点、面共线问题
例题3：
5．如图所示,与不在同一个平面内,如果三条直线两两相交,求证:三条直线交于一点.
变式3：
6．在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点P.求证：三点在同一条直线上.
课堂检测：
7．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A． B．
C． D．
8．设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（ ）．
A．，
B．，
C．，，，
D．，，，
9．在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上
10．下列说法正确的是（ ）
A．若空间四点共面，则其中必有三点共线
B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面
C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
D．若空间四点不共面，则任意三点不共线
11．如图，已知正方体．
（1）________；
（2）平面∩平面________；
（3）________．
试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．(1)，，，．
(2)，，，，，，．
2．(1)
点在平面上，点不在平面上，如下图所示：
(2)
直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示：
(3)
直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示：
3．
因为，所以a和b确定平面．
因为，所以，同理．
由公理1得．又因为，
所以b和c确定平面．同理．
故且，且，
由公理3得，与重合．所以a、b、c、l共面．
4．(1)在同一平面内；
(2)如图所示
设，连接，则平面，且平面，
∵平面，且平面BC1D，
∴平面平面．
5．设与,与,与分别确定平面,
与的交点为P,因为,,,,所以,,
即.又,所以,所以三条直线,,交于一点.
6．证明:
因为∈平面，∈平面，
∈平面，∈平面，
所以平面∩平面.
又因为∩平面，
所以直线平面，
所以平面，
所以直线，
即三点在同一条直线上．
7．C
平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内，
符号表达为：，，
故选：C
8．A
对于A，由，则或与相交，
当与相交时，可能满足，故A错误；
对于B，由，，易得，故B正确；
对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确；
对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确.
故选：A
9．B
如图所示，因为平面，平面，，所以平面，平面；
又因为平面平面，所以．
故选：B．
10．D
对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误；
对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误；
对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误；
对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确，
故选：D.
11．
（1）同在平面中，交于点，故．
（2）平面与平面相交，交线为，故平面∩平面．
（3）三条直线交于一点，．
故答案为：；；.
答案第1页（共2页）
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