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2026-2027学年广东省惠州市惠阳区第一中学高中部高三（上）第一次质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据、、、、的平均数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若函数且恒过定点，则函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
5.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数且方程有个不同的实数根，则的取值为( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注某地区年至年太极拳爱好者人数统计如表：
年份
年份代码
太极拳爱好者人数万人
根据表中数据建立关于的线性回归方程，则( )
A.
B. 当时，残差为万人
C. 预测年该地区的太极拳爱好者人数约为万人
D. 表中数据的第百分位数为
10.已知函数且为偶函数，，恒成立，则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
11.已知且，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知函数是上单调函数，则的取值范围是 ．
14.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，求的最小值．
16.本小题分
随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了名网民，得到如下数据．
男性网民 女性网民 合计
喜欢网络文学
不喜欢网络文学
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？
某网络文学平台组织网民进行文学挑战，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战，然后由平台组织专家打分确定胜负根据以往经验，甲组第次挑战获胜的概率为，若甲组上一次挑战获胜，则下一次挑战获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战获胜的概率为已知按此规则进行了次挑战，每次挑战有且仅有个组获胜，求甲组获胜次数的分布列与数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点．
证明：平面；
已知平面，．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率分别为，．
求证：为定值；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数，．
求曲线在点处的切线方程；
当时，若函数有个零点，求实数的取值范围；
当时，对任意的，满足证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：根据边角转换可得，
则，即，
，
，则，
得，即，
，则；
，
则
，
当且仅当时，取等号，
所以．
16.【答案】解：零假设：喜欢网络文学与性别无关联，
，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此不能认为喜欢网络文学与性别有关联；
表示次挑战中甲组获胜的次数，所以的可能取值：，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
17.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
而，平面，，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
证明：因为平面，平面，所以，
因为底面为正方形，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
解：由题意知，，，两两互相垂直，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由知，
因为为的中点，所以，
不妨设，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.【答案】解：由离心率，得，
所以，即，
将点代入椭圆方程，得，
将代入上式，得，
从而，
所以椭圆的标准方程为．
证明：由知，所以右焦点，
设过点的直线方程为，交椭圆于，，
将直线方程代入椭圆方程，
得，化简得，
由判别式，得，
根据韦达定理，
直线，的斜率分别为，
因为，，
所以，
分子为，所以为定值；
由于，在轴上，，直线过点，如图所示，
的面积为，
，
令，则，，，
由基本不等式，当且仅当即时取等号，
此时，
所以面积的最大值为．
19.【答案】解：由题意得：．
，
切线斜率为：，
切点，斜率，
所以切线方程为，
即．
由，
若，则，故只有一个零点，至多有个零点，不合题意，
若，则函数单调递增，也不可能有个零点，
因此只需考虑，
此时，且或，
则当时，，当或时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
又时，时，
故要有个零点，需且只需，．
又．
因为，所以，故，
又，
综上，；
证明：先证：当时，，
令，
则，
当时，且，所以，
又，故，
而．
又因为、，
因此，
对，，，分别应用上式并求和，
得，
由，得，
故原不等式成立．
第1页，共1页

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