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2026-2027学年山东省青岛第五十八中学高三（上）调研检测
数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.若函数是且的反函数，则函数图象必过定点( )
A. B. C. D.
3.已知，是非零平面向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知命题：“，”，命题：“，”若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
6.若曲线关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
7.若存在，对任意的，都有，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，构造出新的数列．对数列，进行构造，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；依次构造，第次得到的数列的所有项的和记为，令，则( )
A. 第四次得到的数列共项
B.
C. 数列是等差数列
D. 对，以，，为边长不能构成一个三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的周期为 B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有条对称轴 D. 在区间上有个零点
10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A.
B. 的零点个数为
C. 的极值点个数为
D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是
11.已知函数的定义域为，且满足：，，记，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则在上的投影向量是 ．
13.若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ．
14.设函数，令，则，，的大小关系为 ．
四、解答题：本题共6小题，共89分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中．
求证：数列是等比数列，并求；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若．
求角的大小；
若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
当时，，求实数的取值范围；
若，且存在，，使得，证明：．
18.本小题分
在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
试用，表示；
若，求的余弦值；
若在上，且，设，若，求的取值范围．
19.本小题分
定义域为的可导函数在其图像上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”．
设，判断是否为“整数等差函数”，并说明理由；
当时，若为“整数等差函数”，求的最大值；
若对任意的，，当时，总有，则称为上的不减函数若的导函数是上的不减函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
20.本小题分
求证：存在非零复数与实数，使得对于一切模长为的复数均有．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：因为点在直线上，所以，
因为点在直线上，所以，
将代入上式得：，
又因为，所以，
又已知，由得，解得，由得，
因此数列是以为首项，以为公比的等比数列，故；
解：在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为，
由等差数列通项公式知，将代入，得，解得，
从而得到，则数列的前项和为：，
将两边同乘得，
用式减去式得，
将，
代入得，
两边同乘得，
故数列前项的和．
16.【答案】解：因为，
所以：，
即，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，所以；
因为，
所以，
解得，
由余弦定理得，即，
设，，则，
由基本不等式：，
故，解得，故，
又，所以
因此．
17.【答案】 证明：若，则，，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，
则，不妨设，则，
由，则，
两边同取对数，可得，
故，令，则，
即，，故，
要证，只需证，即只需证，
令，
则，
故在上单调递增，则，
即有恒成立，即得证
18.【答案】解：由、、共线，则存在使，
，整理得：，
由、、共线，则存在使，
，整理得：，
根据平面向量基本定理：，解得，
；
，，
，，，
，，
故的余弦值是；
由知：，则，
由，共线，设，
而，有，
，
可得，
，，即，
解得，
的取值范围为．
19.【答案】解：是，理由如下：
已知，定义域为，
求导：．
设三点横坐标，，满足，且为等差数列，则．
所以
．
切线斜率：，
因为，
所以，等式恒成立．
即对任意满足的，直线与处切线一定平行．
取一组互不相等整数：，，，
满足，，
三个横坐标均为整数，
对应图像上三点 ，，互不相同，
满足“整数等差函数”全部定义条件．
所以是整数等差函数．
已知 ，
为整数等差函数，
对其求导．
由定义：，且，
因为
，
代入，左边化为；
右边切线斜率，
由题可知，，两边约去，
得：，
因为，，为整数且，
设整数公差，令，，
代入上式：，
整理得：，
又因为，，
两边除以：．
因为，故分母；，，，．
要最大，只需分母取最小正整数．
取，则，满足的整数仅，
此时分母：，
对应，
若，，
分母最小为，．
故的最大值为．
证明：对两边求导：．
因为不减，对任意有．
任取，则，故，
即，也为不减函数．
充分性：设常数，则．
任取满足，的三点横坐标：
则，满足等差函数定义，
故充分性成立．
必要性：是等差函数，
则存在，，使得
设，记，，
则式 改写为：，
变形：，
移项拆分：
，
即．
构造函数，
则 等价于．
求导：，
因为不减：
时，，，，在单调不减；
时，，，，在单调不增．
，
结合单调性可知：在两侧只能恒等于常数．
又，
故对任意，，
即，
上式对任意成立，说明为一次函数，
设．
将代入条件：
左边，右边．
等式对全体成立，的系数必须相等：．
代入得，即，
因此，为常函数，
必要性成立．
综上，为等差函数的充要条件是为常函数．
20.【答案】证明：对于满足的复数，
设，则不难计算得，
设，
则，
由，得，
即，
即在复平面中对应的点的轨迹方程，
可以看到，此轨迹是双曲线，其焦点为，，
由双曲线的定义，知取，满足题意．
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