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2026-2027学年陕西省西安中学高三（上）第一次质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若函数，则的值域是( )
A. B. C. D.
4.若，，则实数，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.从名男生和名女生中选派人，分别前往甲、乙、丙个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人若所选派的人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有种．
A. B. C. D.
7.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.某市对高中男生进行立定跳远测试已知该市全体高中男生的立定跳远成绩服从正态分布单位：厘米，而且落在区间内的占比为随机抽调该市名高中男生，其中至少有一位男生立定跳远的成绩少于厘米的概率不低于，则至少需要抽取的学生数为( )
参考数据：，，，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数、满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数的定义域为，对任意实数，满足且，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 为增函数 D. 为奇函数
11.已知定义域为的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有若，则下列说法正确的是( )
A. 的一个周期为 B. 直线为图象的一条对称轴
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某篮球运动员近场比赛的得分从低到高依次为，，，，，，，，则这个数据的上四分位数是 ．
13.已知其中，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，关于的不等式只有个整数解，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，在处的切线与垂直，
求实数的值；
求在区间上的值域．
16.本小题分
在中，为锐角，，．
求；
若，求的面积及边上的中线长．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点．
证明：平面与平面的交线平面；
若，二面角的正切值为，求的长．
18.本小题分
一个箱子中装有大小相同的个白球和个黑球，现从箱子中随机取出个球后放入个与该球完全相同的球，按此规则连续操作次．
求第次操作取到的是白球的概率；
求第次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率；
记连续操作次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望．
19.本小题分
已知函数，．
若为奇函数，求实数的值；
若且当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
在的条件下，若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：因为，，
所以，
又因为，则，
为锐角，解得；
根据题意作出示意图，如下图所示：
，是的内角，则，
若为钝角，可得，
，
与题意矛盾，所以为锐角，解得，
，则，
，
则，
，
设中点为，
，
所以．
17.【答案】证明：因为，分别是，的中点，所以．
因为平面，平面，则平面．
又因为平面，而平面平面，所以，
而平面，平面，所以平面．
解：延长，过作于点，连接，过作于点，如图所示．
由，，则，
又，面，且，则平面，
又平面，则，
所以为二面角的平面角，
又，，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，又二面角的正切值为，则，得，
在中，，，则为等腰直角三角形，
又，分别是，的中点，则，所以，
在中，，代入得，解得．
所以．
18.【答案】解：设第次取到白球为事件，则取到黑球为事件，
所以；
结合可知：，，
记第次取到白球且第次取到黑球为事件，
则，
又因为，所以；
的可能取值为，，，，于是有：
表示次操作均取到白球，，
表示次操作中有两次取到白球，一次取到黑球，，
表示次操作中只有一次取到白球，另外两次均取到黑球，
，
表示次操作均取到黑球，故：，
的分布列为：
所以．
19.【答案】解：因为为奇函数，所以，
即，，
解得，
当时，，
因为，所以不成立，舍去；
当时，，
定义域为关于原点对称，
且，
因此为奇函数，故．
综上所述，．
当时，得，
令，那么，因为，所以，
当时，；当时，，
所以在上的值域为，
又由于存在零点，因此有解，
因为，所以，即，
综上所述，实数．
由得，
当时，
由于，
因此，
因此，即，
由题得，对任意的，总存在，使得成立，
即对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立；
，令，当时，，
则，即在上恒成立，即，
由于在上单调递增，在单调递减，
所以，即，
综上所述，．
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