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2026-2027学年海南省海口实验中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为，则的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知单位向量，，且，则，( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知，则函数的零点为( )
A. 或 B. C. 或 D.
7.在中，，为的中点将沿翻折，得到三棱锥，当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在个数码，，，的全排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为例如，在个数码的排列中，与，与都构成逆序，因此那么( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了件进行统计，抽取商品的质量都在克至克之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是( )
A. 直方图中的值为
B. 估计这批零食的平均质量为克
C. 估计这批零食质量的样本数据的分位数为克
D. 在被抽取的零食中，质量在区间的件数为件
10.下列命题中，正确的是( )
A. 函数在内单调递减
B. 函数在内没有最小值
C. 函数的图象关于点对称
D. 对，函数均为偶函数
11.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是( )
A. 以为直径的圆与准线相切
B. 若点，则的最小值为
C. 若直线的倾斜角为，则
D. 点为线段中点，则点的坐标可以是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则 ．
13.若，，则 ．
14.已知函数，．
当时，函数的定义域是 ；
若对任意的恒成立，则实数 ．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角；
若，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，为的中点，为的中点．
证明：直线平面；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
17.本小题分
甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱中随机摸出个球；如果点数为，，，，从乙箱中随机摸出个球已知摸到白球的概率是．
求；
记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和均值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求的通项公式；
若，求数列的最大项；
判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由．
19.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若，求证：．
20.本小题分
已知椭圆：，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为．
证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：由余弦定理，可得，
即，
，
，；
由正弦定理，可得，
则，解得，
则．
16.【答案】证明：在四棱柱中，为的中点，为的中点，
连接，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，直线平面，
所以平面
过点作，垂足为，又因为平面，
所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，则有，即，
令，得，，所以，
设平面的法向量为．
则，则有，即，
令，得，，
所以，
所以，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
17.【答案】；
18.【答案】解：当时，，解得，
当时，，则，整理得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，
当时，也满足，因此通项公式为；
由知，显然，则，
因为各项均为正数，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
故数列的最大项为第项和第项，且；
不存在，理由如下：
假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则，
代入通项公式得，两边同时除以得，，
令，，，为正整数，且，则，
两边同乘得，，
左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾，
因此不存在不同的三项成等差数列．
19.【答案】解：的定义域为，．
令得；当时，当时．
所以在上单调递减、在上单调递增，故在处取得极小值，无极大值．
证明：由知在上递减、在上递增，且．
若，则由及在上递减得，与矛盾，所以．
设，则．
当且仅当时取等号，所以在上单调递增；
又，故当时，即．
取得，于是
又、，而在上单调递减，所以，即．
20.【答案】解：证明：依题意，因为，所以，
设，，，
则，两式相减可得，
得，即，
因为为线段 的中点，则，，
直线的斜率，直线的斜率，
于是得是定值，
即直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
如图，设点的坐标为，
由，消去并整理得：，
则，即，
所以，
又四边形为平行四边形，即线段与线段互相平分，
则，即点，
而点在椭圆上，于是得，
解得：，则，
所以椭圆的方程为：．
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