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2026-2027学年上海市复旦大学附属中学高三（上）阶段性教学质量评估数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.对于三棱锥，“、、所在直线两两垂直且与平面所成角相等”是“三棱锥是以为顶点的正三棱锥”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
4.一个台风的中心正在匀速向西移动，台风在移动过程中始终保持圆形已知该台风正在减弱，台风面积的减小的速率与台风的半径成正比，则更能反映台风影响范围即台风扫过的区域的图是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设集合，，则 ．
6.若向量在向量方向上的数量投影分别为和，则在向量方向上的数量投影为 ．
7.若，则 ．
8.二项式的展开式中的常数项为 ．
9.若方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是 ．
10.甲、乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲、乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是 ．
11.在中，角、、所对边分别为、、，若，，则 ．
12.已知数列的通项公式为，数列是首项为、公比为的等比数列，则 ．
13.设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为 ．
14.如图，平行四边形的对角线，交于点，线段上有点满足，线段上有点满足，设，已知，则 ．
15.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为公里，母线长为公里，是上一点，且公里为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里．
16.已知且，若存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，且，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，，函数在点处的切线方程为．
求函数的表达式；
求函数的单调区间与极值点需说明是极大值点还是极小值点．
18.本小题分
已知实数，函数的定义域为，若函数满足：
对于任意，有；
对于任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”．
设，证明：是“积轴函数”；
设，且是“积轴函数”，求实数的值．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，．
求的长；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知椭圆：，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合．
求椭圆的焦距与离心率；
若轴上一点满足，求实数的值；
在的条件下，若，求的面积．
21.本小题分
已知圆上有三点，其中，．
若，，当在轴右侧时，求的取值范围；
已知点，若，，求的取值范围；
若，且对于任意，，，，都存在使得且，求实数的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：点在切线上，则，
，那么导函数，
由题意得，解得，，
因此函数；
由得，
由得，由得或，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，，
故在处取得极大值，在处取得极小值，即极大值点为，极小值点为．
18.【答案】解：证明：的定义域为，
对任意，，满足条件；
对任意，，当时，，
则，满足条件，
故是“积轴函数”；
因为
，
由“积轴函数”定义，对定义域内任意，有，
代入得：，
展开整理得：，
该式对任意恒成立，因此：，
解得，即．
19.【答案】 ；
20.【答案】解：由椭圆方程得，，则，．
所以，所以焦距为，离心率为．
椭圆右焦点，设直线：，，
联立，整理得：．
由韦达定理得：．
由得，即：．
化简得，即．
代入韦达定理结果：，化简得．
即，对任意成立，故．
由得，代入得，代入得：
，化简得，即．
因此．
．
点到直线的距离：．
所以．

21.【答案】解：由题得，，在轴右侧，
所以，解得．
由题得，
又因为，，所以．
．
易知等号均可取得，所以，
所以．
设，单位圆上两点的距离，
则题设等价于对任意，存在使得：
即，
当时，两个正弦值可以同时取得较大值．
设，则需
所以，结合
得
又因为
所以，解得．
即实数的最大值为．
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