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2026-2027学年广东省深圳市龙岗区多校联考高三（上）第一次阶段性考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知一组数据为：，，，，，，，，，，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，命题：，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.若的展开式中常数项为，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响现每人分别投篮两次，则在甲比乙进球数多个的前提下，乙没有进球的概率为( )
A. B. C. D.
8.设函数，则( )
A. 是的极小值点 B. 方程有个不同的实数解
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，均为负数，则 D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 函数恒过定点
B. 函数的图象关于轴对称
C. 函数的单调增区间为
D. 函数在上的最大值为
11.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图像关于直线对称
C. 定义在上的函数满足，若曲线与恰有个交点，，，，则
D. 当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.函数，若，则 ．
14.已知实数，，，满足，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等差数列的前项和，等比数列满足，．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
若，求；
若，求的最小值并求出取得最小值时相应的的值；
若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
若，的面积为，为边的中点，求的长度；
若为边上一点，且，，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
若函数在处的切线平行于直线，求实数的值；
若方程在上恰有个不相等的实数解，求实数的取值范围；
若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数对于“具有性质”．
若，对于“具有性质”，且是偶函数，求证：也是偶函数；
函数，对于“具有性质”，求的取值范围；
若函数对于“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】且
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，当时，，
当时，，
显然满足上式，则．
设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以．
由，
则
．
16.【答案】解：因为，所以．
当时，．
由中的恒等式得．
令，因为、，由基本不等式得，当且仅当时等号成立．
于是，当且仅当时等号成立．
此时，令，则，解得或，均满足，故或
因此的最小值为，在时取得．
令，由得，且可在时取得，再由中的恒等式得．
所以原不等式等价于，由于，可化为．
由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，对应．
因此，要使原不等式对任意恒成立，必须且只需，故的最大值为．
17.【答案】解：，所以．
，由余弦定理：，，
所以．
因为为中点，所以，
则，
所以；
因为，所以，．
由，即，
所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，，故的最小值为．
18.【答案】，，函数在处的切线斜率为，
又因为函数在处的切线平行于直线，所以，
即，解得．
，即，整理得，
因为方程在上恰有个不相等的实数解，
所以在上恰有个不相等的实数解，
令，即时，恰有个零点；
，
当时，恒成立，单调递增，不可能有个零点；
当时，令，得或，
令，得，
所以在和时单调递增，在时单调递减；
因为时，恰有个零点，
所以，化简得，
解得，则，即的取值范围是；
不等式对恒成立，即，
化简有，
因为，所以，即，
令，，
令，恒成立，
即时，单调递增，
又因为，所以时，恒成立，
即时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是．
19.【答案】解：证明：由，对于“具有性质”，
即对任意，且，皆有成立，
令，其中，代入上式得，又是偶函数，
则对任意，都有，则，又，
即，即对任意非零成立，
又当时，，即也成立，
所以也是偶函数；
因为函数，对于“具有性质，
则，，，且，，
即，
整理得，
则对，恒成立，
又，，，
则，，即，
则，所以的取值范围为；
证明：由函数对于“具有性质，
则对任意，，且，皆有，
又函数在上存在两个零点，，
则，所以，即，
设，即，
则，
且等号仅在处成立，所以函数在上单调递减，且，
不妨设，则，
所以，即，又，
则，又，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减；在上单调递增，
当，则，，所以，即，
所以，又，即等号取不到，
故成立，证毕．
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