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2026-2027学年上海市延安中学高三（上）第3周练习数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.随机事件与发生的概率分别为与，则“”是“与是对立事件”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若函数的图像与直线：相交于点，则与直线交点的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知，函数，若恰有两个零点，则的取值范围为( )
A. B.
C. ， D.
4.下列命题中与“为实数集上的非奇非偶函数”等价的命题是( )
对任意，都有且；
对任意，都有或；
存在，有且；
存在，有或；
存在、，有且
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ．
6.已知函数的两个零点分别为和，则 ．
7.某个品牌的牛奶重景单位：的样本数据如下：、、、、、、、、、、、，则这组数据的第百分位数为 ．
8.随机变量服从，且，则 ．
9.若函数是定义域上的偶函数，则实数 ．
10.某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为；人群分为两类：吸烟者和不吸烟者，其中吸烟者占，他们患肺癌的概率约为，则不吸烟者中患肺癌的概率是 ．
11.甲、乙两人从门课程中各选修门．则甲、乙所选的课程中至多有门相同的选法共有 ．
12.若二项式的展开式共有项，则此展开式中含的项的系数是 ．
13.已知函数是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则 ．
14.定义域为的函数是周期为的偶函数，且当时，
，则 ．
15.已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围是 ．
16.已知函数，设，，若表示，中的较大值，表示，中的较小值记的最小值为，的最大值为，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合；
若，求实数，的值；
若，求．
18.本小题分
某农科院对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新产品发芽之间的关系进行分析研究，记录了年月日至月日大棚内的昼夜温差与每天每颗种子的发芽数，得到如下资料：
日期 日 日 日 日 日 日 日 日 日 日 日 日
温差
发芽数颗
已知发芽数与温差之间线性相关，该农科所确定研究方案是：先从这组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选出的组数据进行检验；
求选取的组数据恰好是相邻天的概率；
若选取的是日与日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出关于的线性回归方程回归系数精确到；
若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的数据的检验数据的误差均不超过颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：中所得的线性回归方程是否可靠？
19.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线方程为，求的值；
当时，证明：．
20.本小题分
已知函数，，是函数图像上一动点：
在求解问题“求点与定点之间最短距离”，小明给出下列解法：设点则；
所以的最小值为；
试判断上述解法是否正确？并说明理由；
若点与点之间的最短距离为，求实数的值；
已知，，若函数有最小值，求实数的值．
21.本小题分
设函数的定义域为，对于，若存在，满足且，则称是的一个“影点”；
求的所有“影点”构成的集合；
设，；若是的一个“影点”，求实数的取值范围；
已知的定义域为，且对任意，在区间上有最大值，记作，由此定义一个上的函数；设的所有“影点”构成集合；的所有“影点”构成集合；证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：因为，
所以，是方程的两实根，
所以根据韦达定理得：，即，；
，时，或，，
所以或．
18.【答案】解：从组数据中任选组，选法数为；
选取的组数据恰好是相邻的天，选法数为；
所以所求概率为．
设剩下的组数据分别为，，，
；
，，
；
，；
所以．
所以．
所以所求回归方程为．
当时，．
因为；，
所以根据所给的研究方案，可以判断中所得的线性回归方程是可靠的．
19.【答案】解：由，可得，
由切线的斜率为，可得，
即，解得；
证明：当时，，，
要证，即证，即，
设，，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得最小值，
因此恒成立，即成立．
20.【答案】解：上述解法不正确．
理由：取等号需，即；而取等号需，即．
两个取等条件不能同时成立，所以只是的一个下界、取不到，故的最小值不是．
设，则．
令，则且取遍，而，所以．
当时，可取到，的最小值为，由得满足；
当时，，故时最小，最小值为，由得或，结合取．
所以或．
因为，所以．
当时，由得，故，在上单调递增，最小值为，由得满足；
当时，在上递减、在上递增，
故最小值为，
由，得，令，
得，解得舍去，故．
所以或．
21.【答案】解：，
所以为开口向下的二次函数，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减．
当时，存在，满足，故是影点；
当时，对任意，都有，故不是影点，
所以所有影点构成的集合为；
解：已知是影点，即存在，使得．
，．
，
当或时，，取即满足影点条件；
当时，对所有，均有，不存在符合要求的，不满足影点定义．
因此实数的取值范围是：或，即；
证明：由定义，是在上的最大值，
故对任意，都有，且
任取，则存在，使得
由，得
又是在上的最大值，故存在，使得，
因此
若，则即为满足影点定义的，故；
若，则，矛盾，该情况不存在．
因此对任意，都有，故B．
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