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2026-2027学年天津市武清区杨村第一中学高三（上）第一次学业质量检测数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知且，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，与交于点，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数，对任意的都有，且当时，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.已知函数在区间上单调递减，且，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数，其中为虚数单位，则 ．
11.在中，，，的面积为，则的长为 ．
12.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块．已知每层圈数相同，共有圈，则下层比上层多 块石板．
13.若，且，则的最小值为 ．
14.已知向量，且满足，求 ；若非零向量满足，求的最大值为 ．
15.已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：
的最小值为；
的最大值为；
若在上单调递减，则的取值范围为；
若存在，对于任意的，，则的可能值共有个；
则全部正确命题的序号为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求函数的最大值，并求出取得最大值时的取值集合；
设，求函数的最小正周期和单调递减区间．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
18.本小题分
已知是等差数列的前项和，且，．
求的通项公式；
求的最大值；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ若函数在处的切线方程为，求的值；
Ⅱ若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围．
Ⅲ当时，求证：．
20.本小题分
已知函数，．
求函数在处的切线方程；
若，
当时，求函数的最小值；
若有两个实根，，且，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】解：
，
因此函数的最大值为；
当取得最大值时满足，，解得，，
对应的取值集合为；
，
函数的最小正周期；
令，，解得，，
因此的单调递减区间为，．
17.【答案】解：Ⅰ因为，
在中，，
由正弦定理可得，
所以，而，
所以；
Ⅱ因为，可得，
再由余弦定理可得，，
即，可得，
由可得，为方程的根，而，
所以；
Ⅲ由Ⅰ，Ⅱ及正弦定理可得，即，
可得，
又因为，
所以为锐角，所以，
所以，，
所以．
18.【答案】
19.【答案】Ⅰ解：函数在处的切线方程为，，
又，
，解得．
Ⅱ解：，，
令可得，故，
的单调增区间为，
若在区间上存在单调增区间，则，即，
．
Ⅲ证明：当时，，，故，
由可知在上单调递增，故，
令，则，
在上单调递增，，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上恒成立．
20.【答案】解：由于，因此导函数，
因此，又因为，
因此在处的切线方程为：，所以．
当时，函数，定义域为，
导函数，
令函数，，
那么导函数，
因此函数在上单调递增，
又由于，，
因此使得，即，
因此当时，，即，此时在上单调递增；
当时，，即，此时在上单调递减，
因此当时，有最小值，
根据可得，所以，
因此的最小值为．
证明：根据题意，函数，，
根据题意函数有两个不相等的实数根，
令，那么导函数，
因此函数在上递增，因此，
令函数，
因此函数有两个不相等的正的零点，，且，
所以，两式分别相加减得，
，，
因此
要证，那么只需证，
所以证，即需证，
根据知，，
因此只需证，
设，令，
那么只需证，所以，
故只需证，
令
则，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立．
所以，即，故．
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