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北京市中国人民大学附属朝阳学校2026-2027年上学期高三第二次学情诊断数学试卷
一、选择题
1.已知集合，，，则为( )
A. B. C. D.
2.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
3.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.某社区为了丰富居民文化生活，开设了层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后项，，也成等差数列，且，，，则这层书架上的书一共有( )
A. 本 B. 本 C. 本 D. 本
5.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则( )
A. B. C. D.
6.在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积单位：与搜索时间单位：满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数．某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于 ．
地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面
评判指标
参考数据：，．
A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面
7.若对任意，，则实数的值可以是 ．
A. B. C. D.
8.记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
9.如图，已知正三角形的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，则下列说法中不正确的是( )
A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
B. 不存在点，使得平面
C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D. 若，那么点的轨迹长度为
二、填空题
11.为虚数单位，若复数，则 ．
12.已知角的终边经过点，则的值为 ．
13.已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值 ．
14.如图，中，点分别是线段的中点，设，，则 用，表示；已知，，，则的最大值为 ．
15.已知集合由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论：

“水滴”图形与轴相交，最高点记为，则点的坐标为；
在集合中任取一点，则到原点的距离的最大值为；
阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记为，，则；
白色“水滴”图形的面积是．
其中正确的有 ．
三、解答题
16.如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，．
若平面与平面相交于直线，求证：；
求证：．
17.已知函数，
求的最小正周期及单调递增区间；
在中，，，，若的平分线交于，求的长．
18.如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面底面，，是的中点．
求证：平面；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定，
求二面角的余弦值；
判断直线是否在平面内，说明理由．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.已知椭圆：的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为．
求椭圆的方程；
过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和的直线与椭圆的另一个交点为，与分别表示与的面积．若，求的值．
20.设函数，其中．
若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
当时，判断函数是否存在极值如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由．
若函数有且只有一个零点，求的取值范围．
21.已知为有穷数列．若对任意的，都有规定，则称具有性质设．
判断数列是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合
若具有性质，证明：
给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】在之间都可以
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】由，平面，平面，得平面，
又平面，且平面与平面相交于直线，所以
在平面内作于，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，则，
又平面，平面，则，
又且都在平面内，故BC平面，
又平面，
则
17.【答案】解：函数，
最小正周期，
由，解得，
即的单调递增区间为．
由得，即，
因为为的内角，故，则，因此，
解得，因为是的角平分线，所以，
由面积关系，则有，
得，解得．

18.【答案】在四棱柱中，连结，设，
连结，在中，因为、分别为的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
选择条件：
因为底面是正方形，所以，
侧面平面，且侧面平面，平面，
故平面，又平面，则，
即四边形为矩形，因为，则，
与选择条件：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定；
选择条件：
连结，因为底面是正方形，所以，
又因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
又平面，所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，，
且，，易知为平面的一个法向量，
设为平面面的一个法向量，则即．
不妨设，则，可得，所以，
因为二面角的平面角是钝角，设为，故，
所以二面角的余弦值为．
选择条件：
因为底面是正方形，所以，
因为，且平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，下面同选择条件．
如图所示，
平面，理由如下：
，与相交，所以直线与直线异面，
这表明四点不共面，即平面．

19.【答案】解：由椭圆：的离心率为，得，解得，
由椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为，得，则，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，点，
由消去并整理得，
，，
由，得，则，
由点在线段上，得都是锐角，则，点关于轴对称，
于是点，，由，
得，即，
整理得，因此，解得，
所以的值为．

20.【答案】解：函数的定义域为，，
由题意得，所以，解得．
当时，，定义域为
．
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，
即恒成立，仅时，且两侧符号不变，故函数不存在极值．
设函数，．
求导，得．
当时，
由，得，所以在单调递增．
又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．
当时，
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故有且仅有一个零点，符合题意．
当时，
令，解得．
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，．
因为，，且在上单调递增，
所以．
又因为存在，，
所以存在使得，
所以函数存在两个零点，，与题意不符．
综上，曲线有一个零点时，的范围是，或．

21.【答案】解：由题知，
即
因为，
所以不具有性质，
由于，
即
因为
故具有性质，
因为
故
“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”，
假设两个元素均不在中，
则有
不妨设，
若，
则由，
可得，
与矛盾，
故，
同理，
从而，
所以，
与具有性质矛盾，
所以假设不成立，即
设
规定时，，
时，，
则，
所以，
考虑数列，
，
由题设可知，他们均具有性质，
设中元素个数最小值为，
所以，
所以，
由知，从而，
当时，令，
当时，令，
此时均有，
所以中元素个数的最小值为．

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