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北京中国人民大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测练习数学试卷
一、选择题
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.角的始边在轴的正半轴上，终边在直线上，则( )
A. B. C. D.
4.过点可作两条曲线的切线，则点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
5.已知，，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，则“，是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数图象与直线的两个交点间的最小距离为，且若，且在区间上单调，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某实验室训练大模型的训练成本与参数数量成正比，与芯片效率成反比，已知参数数量每年增长，芯片效率每年增长某大模型今年训练成本为，若第年后的模型的训练成本不超过，则的最小值为 参考数据：，
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
9.已知函数，其中，若，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.小斌老师在上课时在黑板上画出了函数图像的一部分，然后他画了一条长度为的线段，如图所示：端点，落在曲线上，与轴交于点，与曲线交于点若，，则满足条件的，可能是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题
11.已知向量，不共线，，若，共线，则实数 ．
12.已知函数为偶函数，则实数 ．
13.函数的最小值为 ．
14.在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，其中，
若，则 ；
若，，则 ．
15.已知函数，其中，给出以下四个结论：
对于任意正实数，为偶函数；
记集合，则“中各项可以构成一个等差数列”的充要条件是“是正整数”；
若有最大值，则；
存在正整数，使得在区间中，恰好有个极值点．
其中正确结论的序号是： ．
三、解答题
16.已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，．
求数列和的通项公式；
若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值．
17.已知函数．
当时，求的单调区间与极值；
若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
18.已知函数．
若，求的单调递增区间；
已知在区间上单调递增，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求在区间上的最大值和最小值．
条件：；
条件：点在的图象上；
条件：．
19.天宁寺塔位于北京市西城区广安门外护城河西岸，是辽代八角十三层密檐式实心砖塔，也是北京城区现存最古老的地面建筑之一．某校实践小组在护城河东岸同一水平面内选取，两个观测点，测量天宁寺塔的高度．由于塔底位于对岸无法直接到达，小组先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶的仰角为已知，且观测点与塔底在同一水平面内．
求天宁寺塔的高度；
求的大小；
若点在直线上且在，之间，满足，求的值．
20.已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
若时，恒成立，求实数的取值范围；
当时，若是在的零点，比较与的大小，并证明你的结论．
21.设是如下形式的行列的数表，
其中位于第行第列的数为，且满足时，，时，．
已知集合．
给定数表和序列：，，，，其中，对数表进行如下变换：将的减，加，其余各项不变，记为；将的减，加，其余各项不变，记为；以此类推得到，简记为．
记，即数表的第行各数之和．
当时，给定序列：，，写出，，；
若序列：，，，各项互不相同，且满足第三分量等于的项至多有个．
(ⅰ)当时，是否存在序列：，，，，使得，若存在，写出一个符合条件的序列，若不存在，说明理由；
(ⅱ)求的最大值，使得存在序列：，，，，满足．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：，当时，，得，
当时，，
由，可得，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，则；
又，数列是等差数列，设公差为，
由，解得，
则．
因，
由，可知数列为首项是，公差为的等差数列，
故数列的前项和为，
又因，故当时，取得最小值．

17.【答案】解：当时，，，且，列表如下：
极小值
由表可得，的单调增区间为，单调减区间为和；
当时函数取得极小值，无极大值．
，由题意得对任意恒成立，
即．
令，则，
当时，，从而在单调递增，因此．

18.【答案】解：
当时，
由，
得，
所以单调递增区间为．
由，
当时，
在单调递增，故，解得．
条件：，
即，得
在内有唯一解，
此时．
时，，
当，即时，；
当，即时，．
条件：点在图象上，
得
在内有两个解，，不能唯一确定，舍去；
条件：，得
当，时，得，在内无解；
当，时，得，在内有唯一解；
此时．
时，，
当，即时，；
当，即时，．
综上所得，选条件或条件，最大值，最小值．

19.【答案】解：由题意知，，，，，，
设，则，
又中，，
所以，
即，
化简，得，
因为，所以，．
所以．
由可得，，，
因为，所以．
，
，
所以．
，
由正弦定理，得，
所以，
所以．

20.【答案】解：当时，，定义域为，则，
而，则，故，即，
故曲线在点处的切线方程为．
若时，恒成立，即，
令，则，
而，
若，则，故存在，使得在上恒成立，
故在上为减函数，故，总有，与题设矛盾；
为递增函数且，
故，此时，
设，则，
因为均为上的增函数，故为上的增函数，
故，故为上的增函数，故．
即在上恒成立．
当时，设，其中，
而，
因为，所以均为上的增函数，
故为上的增函数，而是在的零点，
故且当时，，故在上为减函数，故，
而，故，故．

21.【答案】解：当时，由题意得，
行和依次变化为，．
不存在，当时，初始行和为，总和始终为，考察首位差，只有能使增加其余操作最多使其增加，
按第三分量分组：
第三分量 最大增量的依据 增量上界
不能涉及第行，且至多操作次
至多次，另一次最多增加
至多次，其余两次各最多增加
有利操作只有各至多次
因此，
假设最终行和严格递增，记为，且，四个数都是整数，故，
首位差为时，四个数只能是连续的整数，其和为，不可能等于，
首位差为时，结合总和为，唯一可能是，
要达到，上表每组都必须达到最大增量，
组必须采用，对第行的净影响为，
组必须包含，且不能再采用使减少的操作，其中第行先增加，即使再采用，也只能减少，所以这一组不能使第行净影响减少，
组不能改变第行，
组最多使第行减少，，与所需的矛盾．
(ⅱ)先证上界，
对，初始时，总操作次数满足，
只有能使增加，其余操作最多增加，前者对应的三元组只能为，其中，故最多有次，
因此，
当时，右侧不大于，无法满足，，
再构造的合法序列，
初始首位差为，各组分别选中如下操作：
组选，使增加，
各组先选，使增加，再补上个各使增加的操作，具体可选为：
先选这一次 再选这些操作 操作数
表中后列的操作都是让第行减，或让第行加，所以每个操作均使增加，
每组共次，使增加，
先选，再选只说明选取方式，实际执行顺序不影响最终行和，
组选共次，不超过次，使增加，
各组三元组互不相同，均满足，各组操作数依次为，均未超过对应的，
最终，故可以实现，
结合上界．

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