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北京市东直门中学2026-2027学年高三上学期10月阶段考试
数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
6.已知，为非零向量，则“与共线”是“与共线”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在生活中，人们常用声强级单位：来表示声强度单位．的相对大小，具体关系式为，其中基准值若声强度为时的声强级为，那么当声强度变为时的声强级约为参考数据：
A. B. C. D.
8.已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于．
A. B. C. D.
9.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的有( )
存在点，使得；存在点，使得平面；三棱锥的体积是定值；不存在点，使得与所成的角为．
A. B. C. D.
10.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.展开式中的系数为 ．
12.一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为 ．
13.已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则 ；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为 ．
14.设函数，当时，函数的最小值为 ；若无最小值，则实数的取值范围是 ．
15.已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，，给出下列四个结论：
当，时，；
，；
存在，使得，为等腰直角三角形；
任取，为递增数列．
其中所有正确的结论是 ．
16.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为中点，，，．
证明：直线平面；
求二面角的余弦值．
17.在中，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：
试题类别 软件 软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
函数试题
几何试题
估计软件能正确解答数学问题的概率；
小明决定采用这两款软件解答道类似试题假设其难度和测试的道题基本相同，其中函数道，几何道；使用软件解答道函数试题，使用软件解答道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望；
小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题假设其难度和测试的道题基本相同，但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？结论不要求证明
19.已知椭圆：短轴长为，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
求椭圆的方程；
若直线：与椭圆交于，两点，线段中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20.已知函数的定义域为，，函数对任意，曲线在点处的切线方程为．
讨论的单调性；
求的最小值；
已知，求过点且与曲线相切的直线条数
21.已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质．
判断下列数列是否具有性质；
：，，，；
：，，，，．
已知数列：，，，，，具有性质，求出的所有可能取值；
若一个数列：具有性质，则是否存在最小值若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：，且为中点，．
，且平面，平面，．
又平面，平面，平面．
，为中点，．
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，在中．
为等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，得到．
点，点，点的坐标分别为，，．
而，，
设平面与平面的法向量分别为，．
由平面，可得．
由，令，
解得，，得到．
设二面角的平面角为，得到．
而为锐角，故．

17.【答案】Ⅰ；
Ⅱ选不成立，理由见解答；选成立，边上的高为．
18.【答案】解：记软件能正确解答数学问题为事件，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得．
解法一：使用软件解答函数试题正确的概率为，
使用软件解答几何试题正确的概率为；
的可能取值为、、、，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为：；
解法二：函数试题用软件解答，几何试题用软件解答．
用、分别表示这道函数试题与道几何试题被正确解答的个数，
因为，，
的可能取值为、、、，
，，
，，
则其分布列为：
由二项分布的期望公式可得，
因为，相互独立，则
．
小明应该使用软件来解决这道试题，证明如下：
记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件，
“该题为几何题”为事件．
则，，，
，，，
由全概率公式可得
．
．
因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小明应该使用软件来解决这道试题．

19.【答案】解：由题知，设椭圆方程为，
椭圆过点且，
所以，解得
所以椭圆的方程为．
假设在轴上存在定点，使得恒成立，设，，
由，得，
，，
，
，，，
点在以为直径的圆上，即，
，，
，
恒成立，
，解得，
，
存在定点，使得恒成立．

20.【答案】解：函数的定义域为，
，
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在处有最小值，即函数在处有最小值，
所以，故函数在区间上单调递增；
由题意可知曲线在点处的切线斜率为，
所以，
令，得，
单调递减 极小值 单调递增
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在有最小值，且；
由题意可得点在切线上，
所以，
令，
，
由可知，当时，，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为，所以是方程的一个解；
又，，
所以函数在处有一个零点且在区间内存在唯一零点，
所以有两个解，
即过点且与曲线相切的直线的条数有条．

21.【答案】解：：，，，，任意两项和的结果有，，，，共个，而，所以具有性质．
：，，，，，任意两项和的结果有，，，，，，，，，共个，而，所以不具有性质．
对于数列：，，，，，，任意两项和不同的取值最多有个，所以而：，，，，中任意两项和的结果有个，且全是偶数．
当为奇数时，都是奇数，与前项中任意两项和的值均不相同，则：，，，，，中所有的值共有个，所以．
当为偶数时，都是偶数，所以．
所以．
当时，在前项中任两项和的结果中未出现，
所以：，，，，，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾．
当时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：，，，，，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾．
当时，：，，，，，中任意两项和的不同值有，，，，，，，，，，，，，共个，成立．
综上，或．
存在最小值，且最小值为．
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以．
所以的值至少有个
即的值至少有个，即．
数列：，，，，，，符合条件．
：，，，，，，可重新排成等差数列：，，，，，，
考虑，根据等差数列的性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，
或者等于中的一个．
所以：，，，，，中共有个不同值．
即：，，，，，，中共有个不同值．
综上，的最小值是，一个满足条件的数列：，，，，，，．

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