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北京市第一六一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.幂函数的图象过点，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
4.若函数是奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
10.设函数，，，，，，，，记，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知为虚数单位，若复数满足，则 ．
12.设函数，则 ．
13.已知函数，的零点为，则 ．
14.已知函数，若且，则的取值范围是 ．
15.若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质将具有性质的函数所构成的集合记为给出下列四个结论：
若，，则；
存在，，使得且；
若，，且为增函数，则；
若，，且为奇函数，为偶函数，则．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小
Ⅱ从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知求的面积．
条件，条件，．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足小时的学生视为“运动不达标”现随机抽取名学生的问卷，获得数据如下表：
男生人 女生人 合计人
运动达标
运动不达标
合计
用频率估计概率．
从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；
从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望；
从该校随机抽取名学生，记其中“运动达标”的人数为求使概率取得最大值时的的值．直接写出结论
19.本小题分
已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为．
求椭圆的方程及离心率；
过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ当，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若，求函数极值点的个数；
Ⅲ若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
给定正整数，记集合或且对于由中的三个元素组成的子集，，，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质．
在的子集中，写出一个具有性质的三元子集；结论不要求证明
证明：在的子集中，不可能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集；
在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质的三元子集？说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：因为，
由正弦定理得，，
因为，所以，
由为三角形内角且为锐角得；
选：，，
由余弦定理得，即，
解得，；
选：，，
由正弦定理，所以，，
故，
．

17.【答案】解：
取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形．
所以，因为平面平面，
所以平面．
由题知平面，所以，
又因为，
所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系．
所以，
则．
根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为，
则即
令，则于是，
设二面角的平面角为，
则，由图可知为锐角，所以．

18.【答案】解：设“从抽取问卷的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件，
由表可知男生共人，运动不达标的人，
，
这两人均为“运动不达标”的概率为．
由表可知，从男生中抽取一人“运动达标”的概率为，
从女生中抽取一人“运动达标”的概率为，
随机变量的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望．
由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为，
服从二项分布，
则要使得使概率取得最大值需且，
则且，
解得，
为整数，所以，
使概率取得最大值时的值为．

19.【答案】由题意得解得．
所以椭圆的方程为，离心率．
直线的方程为，设点，点．
由得．
依据题意，．
因为点与点关于轴对称，所以点．
若在轴上存在定点，使三点共线，则．
由，得．
由，得．
因为
，
则，由于对任意恒成立，
所以，解得．
则在轴上存在定点，使三点共线．

20.【答案】 个
21.【答案】故答案不唯一，如，， 证明：由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集．
将中所有元素的第一个分量求和一个元素可以看成一个数组，
第一个数字称为第一个分量，以此类推，知其和等于；同理，所有第二个分量、第三个分量、的和均等于．
假设能选出个符合题意的三元子集，由题意，这个三元子集覆盖了中的个元素，
且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数．
故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为．
这与矛盾．
所以在的子集中，不可能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集 ，理由：
记，其中为偶数．不妨假设时有意义．
当时，的三元子集只有一个，，，且具有性质，
所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
记中具有性质的三元子集为，，．
当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集．
因为的子集，，，，，，
，，，，，和
，，为两两交集为空集，且具有性质的三元子集共个，
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
设，，为中上述具有性质的三元子集中的任意一个，
同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集，
且对于，可以对应构造出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
即，，，
，，，
，，，
，，．
又因为，，为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集，
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集
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