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江苏扬州市2027届高三年级上学期10月供题训练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的实部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.设甲：，乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，则的值等于( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象关于原点对称，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知三个电流瞬时值的函数表达式为，，，，它们合成后的电流瞬时值的函数为的部分图象如图所示，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设点和点分别是函数和图象上的点，且，若直线轴，则两点间的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知，且，，，则( )
A. 的取值范围为 B. 存在，，使得
C. 当时， D. 的取值范围为
11.已知正方体的棱长为，点在棱上，若正方体的一个截面经过点，，，且将正方体分成体积比为的两部分，则( )
A. 该截面为梯形
B.
C. 点到该截面的距离为
D. 点，，，都在同一个球面上，且该球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 ．
13.若点是函数图像上的一点，则的最小值是 ．
14.正实数满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度单位：介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示
求的值；
以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
16.本小题分
已知．
当时，求不等式的解集；
若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图在多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，．
证明：平面平面；
求平面与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
若在上恒成立，求实数的最小值；
求证：对任意的，都有．
19.本小题分
若存在，，使得恰为函数的全部零点所构成的集合，则称为“分圆函数”．
分别判断下列函数是否为“分圆函数”，并证明；
；
．
求证：对任意，均为“分圆函数”；
若为“分圆函数”，证明：一定存在不同的取值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：依题意可得，解得；
由可得高度在的频率为，
，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
所以．

16.【答案】解：，，
，
，，
的定义域，
中，，的定义域．
，
，
，
，即，
不等式的解集为．
，，
，
函数只有一个零点，
只有一解，
，，
，，
，
，
恒成立，
关于的方程只有一个正根，
当时，转化为，符合题意；
当时，若有两个相等的实数根，则，解得，
此时方程的根为，符合题意；
当时，若有两个相异的实数根，则，解得，
此时设方程的两个根为，，则有
方程的两个根只能异号，
，
，此时方程只有一个正根，符合题意．
综上可知，实数的取值范围为或．

17.【答案】解：证明：四边形是正方形，，
，，平面，平面，
平面，平面平面．
过点作于，由知平面，
四边形是等腰梯形，，，，
，
作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，．
，．
设平面的一个法向量，则，即
令，，
又，，
同理设平面的一个法向量，则，即
令，，
，
，
故平面与平面所成角的正弦值为．
设点到平面的距离为，
由知，平面的一个法向量，
．

18.【答案】解：，
因为，所以曲线在处的切线方程为；
，即在上恒成立，
则在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，
若，则在上恒成立，不符合题意；
若，则的对称轴为，
若，则，则，
则在上单调递增，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
若，即，则在上存在一个零点，
则当时，，在上单调递增，
则，不符合题意；
若，即，则，在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意，
综上，实数的最小值为；
因为，
则当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
则，
又，且时，故，
欲证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
令，，则，
则在上单调递减，则，命题得证．

19.【答案】解：是；
令，解得；
即可得，，所以的零点的解集为；
所以存在，使得为“分圆函数”．
不是；
令，即，
解得，或，；
显然这两部分解无法用同一个表达式来表示，所以不是“分圆函数”．
令，，
故其必有两个不等实根，
由韦达定理：
令，则
因此的全部零点为，；
故对任意，均为“分圆函数”．
证明：令，
易知，故其必有两个不等实根，，
由韦达定理可得
因为在上至多有两个解，在上至多有两个解；
所以在上至多有个解，则，
当时：由于，则且，不合题意，
当时：必有或．
若，则，，
此时，的全部零点为，故合题意；
若，则，，
此时，的全部零点为，故合题意；
当时：若，则，
则，均为的根，
而，故，
因此，
此时，的全部零点为，故合题意；
综上或，即一定存在不同的取值．

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