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2026-2027学年湖南省郴州市高三（上）联考模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集是三角形，集合是直角三角形，是锐角三角形或直角三角形，则( )
A. 是钝角三角形 B. 是锐角三角形或钝角三角形
C. 是直角三角形 D. 是直角三角形或钝角三角形
2.双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.函数图象的对称中心的坐标为( )
A. B.
C. D.
5.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
7.在正三棱锥中，，且二面角的正切值的取值范围是，则长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为，若，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量，，则( )
A.
B.
C. 当时，
D. 当时，
10.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11.记某圆锥为，且的侧面积为，则( )
A. 的体积的最大值为
B. 当的高为时，的母线长为
C. 当的体积最大时，的外接球的表面积为
D. 当的底面半径为时，内可以放入一个棱长为的正方体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则 ．
13.若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为 ．
14.已知圆，点，是圆及其内部的点构成的集合，定义集合，则表示的区域的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，，且的长为整数．
求；
若点在射线上，且的面积为，求线段的长．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点．
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
求的焦距；
若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程．
18.本小题分
已知某袋中有个大小、形状完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出个小球．
设，记前次取的小球的颜色的种数为，求的期望；
设，，求红球首先被全部取出的概率；
若，，且最后剩下的球全是红球的概率为，证明：当时，．
19.本小题分
已知函数．
证明：；
若函数在上有零点，求的取值范围；
若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由已知，在中，由余弦定理，
，即，
整理得，解得或，
因为为整数，故AC，
由正弦定理，得；
如图，
在中，因为，
所以，
设，由的面积为，
得，
即，解得，即，
在中，
，
因长度为正，故．
16.【答案】解：证明：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
因为，分别为，的中点，所以，，
所以直线的方向向量为．
为平面内的两个相交的向量，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则．
因为，所以．
又直线平面，所以平面．
由，，，得，
所以．
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则．
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.【答案】解：由题意右顶点为，可得，且，
解得，则，
因此焦距．
由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上．
分两种情况讨论：
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程
整理得：，
设，，中点为，
由韦达定理得，，
代入直线方程得中点纵坐标，
由得，即斜率乘积为，，
，代入得，解得，
即直线方程为，．
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时交点，．
，，
满足，因此符合题意．
综上所述，直线的方程为或或．

18.【答案】解：已知某袋中有个大小、形状完全相同的小球，
其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出个小球．
设，记前次取的小球的颜色的种数为，
设，，分别表示前次取球中是否取到红球、白球、黑球取到对应颜色记为，未取到记为，
则颜色种数，对红球而言，前次都未取到红球的概率为，
因此取到红球的期望，
由于三种颜色的数量相同，故，
根据期望的线性性质可得；
“红球首先被全部取出”等价于：最后一个红球的位置早于最后一个白球和最后一个黑球的位置，即红球是三种颜色中最先被取完的，
分两类讨论：若最后一个球是白球，概率为，此时白球是最后被取完的，只需红球比黑球先被取完，
对个红球和个黑球，红球先被取完的概率等于最后一个为黑球的概率为，
若最后一个球是黑球，概率同样为，同理，红球比白球先被取完的概率也为，
若最后一个球是红球，则红球不可能最先被全部取出，无需计入，
因此总概率；
证明：若，，且最后剩下的球全是红球的概率为，
“最后剩下的球全是红球”等价于最后一个球是红球所有白球、黑球都被取完后，剩余球均为红球，
因为，，
因此最后一个球是红球的概率为，
取倒数得，
对到求和，
当，即时，，故，
综上，当时，，得证．
19.【答案】解：证明：设，
则，令，
得；令，解得；
令，解得．
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在处取极小值，也是最小值，故，所以．
方法一：由题意得，则．
对于任何实数，当时，，当时，．
因为在上为增函数，所以存在唯一的，使得．
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以且．
因为在上有零点，所以，即．
设，则在上单调递减．
因为，所以，则，故的取值范围是．
方法二：在上有零点等价于在上有解．
设，，则，
故在上单调递增，所以，即，
所以，
又，故，
则，则．
当时，，在上有零点；
当时，，当时，，
由函数零点存在定理可知，在上必有零点．故的取值范围是．
证明：设，，
那么得到，，
所以，即，
由，得，即，
设，则函数在上单调递增，
，
由可得，
故．
故，所以，，
故，
要证，只需证，即证，
令，则由于，所以由得，
即，，解得，
要证，即证，即证，
要证，只需证，即，
又，即证，
即证，即，
设，则，那么
令，得，
所以函数单调递增，又，
故在区间上，，即，
所以，故．
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