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山东省九五高中协作体2027届高三上学期10月学习质量综合评估
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知函数则( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，角和均以为始边，它们的终边关于原点对称．若，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知，，均为正数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知是偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
8.若对任意的，总存在使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，均为锐角，且，，则( )
A. B.
C. D.
10.若，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. ，为奇函数
B. 对，，使得
C. 且，的最小值为
D. 若方程有唯一实数根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在上的最小值为 ．
13.函数，则的解集为 ．
14.已知二次函数的二次项系数均为，且满足，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设：实数满足，其中；：实数满足。
写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件；
是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
16.本小题分
已知函数的图象过点．
求的解析式及单调递增区间；
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．求方程在内所有实数根的和．
17.本小题分
已知函数且
若，解不等式；
若存在使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，，．
当时，求的单调区间；
证明：对任意，均有；
若，且，求证：．
19.本小题分
给定正整数，集合，若集合，，，是的个二元子集，记为，满足，且对于，有，则称是的一个“配对划分”给定函数，，配对划分满足，，则称为的一个“非等和划分”．
若，，试写出的一个“非等和划分”；
若且，
(ⅰ)当时，证明：所有的配对划分都是的非等和划分；
(ⅱ)证明：至少存在两个，且，对于每个都存在一个“配对划分”，使得它不是“非等和划分”．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：解不等式，解得，即对应解集为，
若的取值范围是的充分不必要条件，则该范围对应的集合是的真子集，例如取，
，故可推出成立，成立无法推出一定属于，满足要求，答案不唯一；
是的必要不充分条件，的解集是的真子集。解不等式，因式分解得，结合分情况讨论：
当时，不等式解集为，由得，解得，
当时，不等式解集为，由得，解得，
综上所述，实数的取值范围为
16.【答案】解：由的图象过点，得，
所以，，解得，，
又，故，因此，
由，得，，
故的单调递增区间为，．
将的图象向左平移个单位长度，
得，
方程，即，
所以或，，
即或，，
在内：，无满足条件的解；
，取，，，得三个实根，，，
所以，
故方程在内所有实数根的和为．

17.【答案】解：当时，的定义域为且在上单调递减，
由，得，解得，
故不等式的解集为．
由题意需满足，，，又，得，
原方程可化为，得，即，
令，，，得，
函数在上单调递增，，得，
又且，解得，
故实数的取值范围是
18.【答案】解：当时，，，
因为，且，故，
所以在上单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
证明：设，，则，故在上单调递增，
因为，所以，即，
所以．
证明：若，则，所以在上递增，
不可能存在使得，矛盾，因此．
不妨设，由，得，
整理得，
即
由问知，
又，故，
结合式得，即
下面证明．
设，，，
故在上单调递增．所以，即，
令代入，整理得，
因此
联立，得，两边开方，得，证毕．

19.【答案】解：，即，，，，是的一个非等和划分：
注意到在单调递增，令，则是递增数列，
从而互不相等．
故，，，，是的一个非等和划分．
当时，先证明若，，，是互不相等的正整数，那么．
若存在，
不妨设是中的最大值，则，，
那么
，
从而若，，，是互不相等的正整数，那么．
故对配对划分，，，，，
故当时，所有配对划分都是非等和划分．
(ⅱ)先证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”．
当时，令，
注意到，而，
故存在，使得，故，
两边同乘得；
故对于，包含，的配对划分不是非等和划分．
再证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”．
令，注意到，，
故存在，当时，单调递减，从而存在；
取，则，而，
故存在，，即，
两边同乘得，
故对于，包含，的配对划分不是非等和划分．
显然，不相同，命题得证．

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