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山东济宁市任城区部分学校2026-2027学年高三上学期10月学情调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若函数的最小正周期为，则( )
A. 且为奇函数 B. 且为奇函数
C. 且为偶函数 D. 且为偶函数
3.已知集合，，，则( )
A. B.
C. D.
4.“兮”字是离骚中出现频率最高的字，在离骚中几乎每个上句句末都出现，起舒缓语气、调节节奏、增强咏叹感的作用．
帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸．
摄提贞于孟陬兮，惟庚寅吾以降．
皇览揆余初度兮，肇锡余以嘉名．
名余曰正则兮，字余曰灵均．
纷吾既有此内美兮，又重之以修能．
扈江离与辟芷兮，纫秋兰以为佩．
汩余若将不及兮，恐年岁之不吾与．
朝搴阰之木兰兮，夕揽洲之宿莽．
上述这段选自离骚，共有行，若从左到右数第行中的“兮”字是位于该行的第个字，则，例如：第行“帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸”中的“兮”字是位于该行的第个字，所以那么( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.临沂广播电视塔坐落于山东临沂北城新区，是山东省最高的广播电视塔，也是临沂的标志性城市建筑如图，某测绘小组为了测量电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A. B. C. D.
7.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设函数的最大值为，且无最小值，则函数的( )
A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题：，，命题：存在偶数，使得函数为偶函数关于这两个命题，下列判断正确的是( )
A. 是全称量词命题
B. 的否定：，
C. 的否定是假命题
D. 的否定：对每个偶数，函数都不是偶函数
10.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与方程表示的圆可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数及其导函数的定义域均为，且曲线在上是一条连续不断的曲线，恰有三个极值点，点，若函数的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被承载，否则不能被承载下列结论正确的是( )
A. ，不能被承载
B. ，不能被承载
C. ，能被承载
D. 若满足对任意的，当时，都有，则能被承载
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ， ．
13.已知函数，若恰有奇数个零点，则的取值范围是 ．
14.若存在正数，，使得不等式成立，则正数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求；
若，，且的面积为，求线段的长．
16.本小题分
已知函数．
求的定义域；
若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上的最大值小于，求的取值范围．
18.本小题分
如图，某工厂拟将，，三个地点设为销售点，为的中点，该工厂将建在与之间不含和已知与之间的距离为千米，与之间的距离为千米，工厂建在点处为便于运输，要修建，，三段快速路设千米，三段快速路的总长为千米．
求关于的函数表达式；
求三段快速路的总长的最小值结果精确到千米；
若修建段快速路的价格为每千米万元，修建段快速路与段快速路的价格相等，修建段快速路的价格为每千米万元，，且，为了使得修建三段快速路的总费用最少，该如何选取的值？
19.本小题分
设函数．
求曲线在坐标原点处的切线方程；
证明：对任意正整数，在上存在唯一的极值点；
记中在上的极值点为，设点，证明：存在定点，使得为定值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：设角，，的对边分别为，，．
由正弦定理得．
设，，，
则．
因为，所以．
由，得．
因为，所以在射线上，则，
所以的面积为，
解得．
在中，，
则，故线段的长为．
第问还可以这样解答：
由，得，即．
因为，所以，
所以的面积为，
解得，则．
在中，，
则，故线段的长为．

16.【答案】解：因为，，
所以，．
因为，，所以，
所以的定义域为．
．
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
依题意可得．
当时，，则满足题意．
当时，，
则，又，所以
综上，的取值范围为．

17.【答案】解：
．
因为，所以，，
得，．
设的最小正周期为，则得，
则，得．
由，，可得，
则．
．
由，得．
因为在上的最大值小于，且，所以
解得，，
故的取值范围为．

18.【答案】解：依题意可得千米，千米，千米，
所以，其中．
设，，
则．
令，得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以．
因为，
所以三段快速路的总长的最小值约为千米．
设修建三段快速路的总费用为万元，
则，，
则．
令，得．
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值；
当，即时，
对恒成立，则在上单调递增，
所以在处取得最小值．
综上，当时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取或；
当时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取．

19.【答案】解：因为，
所以．
故曲线在坐标原点处的切线方程为．
证明：设，则．
当时，若为偶数，，，单调递减，
若为奇数，，，单调递增，所以在上单调．
又，．
因为对于任意正整数，且，所以．
因为的图象是连续不断的，所以结合在上的单调性可知，存在唯一的，使得．
又，且对恒成立，
所以当时，与同号，零点相同，即在左、右两侧的符号相反，且．
故对任意正整数，在上存在唯一的极值点．
证明：由可知，即．
令因为，所以．
将代入上式，可化简为，即．
由，得且，
所以．
又，所以．
因为，所以．
由，得，则，所以．
将代入，得．
设定点，则，
所以．
若使其为定值恒成立，只需比较得，，，
解得，，即或，
所以存在定点或，使得为定值．

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