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北京市丰台区第十八中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测
数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
4.等差数列的首项为，公差不为，若成等比数列，则的前项和为( )
A. B. C. D.
5.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.历史上，在月日曾有多次地震记录．例如：年月日，印尼爪哇发生里氏级地震，年月日，四川木里县发生里氏级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的 倍．精确到参考数据：
A. B. C. D.
7.在中，“”是“为锐角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若函数的图象如图所示，则实数，的值可能为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.如图所示，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，在下列结论中：
是的一个周期；
的图象关于直线对称；
在区间上无最大值；
正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点的横坐标为
12.已知是公比为的等比数列，各项符号相同，且成等差数列，则 ．
13.使成立的一组，的值为 ， ．
14.已知为奇函数，则实数的值是 ．
15.已知函数，，，给出下列四个命题，其中真命题有 写出所有真命题的序号
存在实数，使得方程恰有一个根；
存在实数，使得方程恰有三个根；
任意实数，存在不相等的实数，使得；
任意实数，存在不相等的实数，使得．
三、解答题
16.已知为数列的前项和，，且成等差数列．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.已知函数．
若，求的值；
若在一个周期内的部分取值如下表，：
求的解析式及单调增区间．
18.在中，，．
求的值．
从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积．
边上的高为；
；
边上的中线长．
19.已知二次函数为常数，且满足条件：且方程有等根．
求的解析式；
是否存在实数，，使定义域和值域分别为，和，，如果存在，求出、的值；如果不存在，说明理由
20.已知函数．
若，求函数的单调区间
若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和，
(ⅰ)证明：函数在两点，处的切线平行
(ⅱ)记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求的最大值．
21.设是正整数，数列满足：，且其任意两项互不相同对满足条件的数列，若，定义为，对正整数，定义为．
若，数列，直接写出；
证明：对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为；
若是否存在满足条件的数列，使得的首项不为？请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：当时，由及，得，
所以，数列是公比为的等比数列．
由，，成等差数列，得．
又，所以，从而．
故．
由得，所以．
于是．

17.【答案】解：由，得，而，
所以．
函数，
由表格中数据知，是函数图象的对称轴，对称中心可能为或，
又所给取值在函数的一个周期内，则周期，，
则或，解得或，
则或，而，因此，，
由，得，又，则，
所以的解析式是；
由，得，
所以的单调递增区间是．

18.【答案】；
选无解；选或；选．
19.【答案】【解答】
解：方程有等根，，得；
由知此函数图象的对称轴方程为得，
故；
，，即，
而抛物线的对称轴为，
时，在上为增函数，
若满足题设条件的，存在，则即．
又，，，这时定义域为，值域为；
由以上知满足条件的、存在，，．

20.【答案】解：当时，，
则，
令，则，故在上递增，
又，则时，，又，故，
当时，，又，故，
故恒成立，故在上单调递增，
即函数的单调递增区间为，无单调递减区间
当时，，
根据题意，零点，分别在区间和内，不等于，因此，是方程的两个根，
故，，则，，且有，则，
，
则，
同理
，
故函数在两点，处的切线平行
由知，
故在点处的切线为，，
令，则，
又，故，
故，又，且，
所以，
令，则，又，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以的最大值为
21.【答案】数列，由题意得数列；；
；．
下面用数学归纳法证明．
证明：当时，数列或满足条件；
显然，对数列：经过任意为正整数次变换均为数列本身，即首项恒为；
对数列，有，故经过次变换，的首项为，
故当时，存在正整数，使得的首项为；
假设时，
对数列，其中，
都存在正整数，使得的首项为，
为便于理解，下面叙述为：经过有限次变换，可使首项为；
自然经过有限次变换，也可使首项变为数列的任意项，．
当时，对，其中，
若，则是数列的前项中的项，，且，
由题意，的首项也不等于，且经过任意次变换后首项均不为，
即变换仅对前项产生顺序调整，相当于对数列的变换，
故由归纳假设可知，经过有限次变换，可使首项为；
若，设，，，
由题意，经过任意变换，只要没有变换至首项位置，则相当于对数列的变换，
则由归纳假设，经过有限次设为次变换，可使首项为，
当时，即，则的首项为，即经过次变换，可使首项为；
当时，即，则的最后一项变换为，则转化为新数列满足，即的情况，故经过有限次变换，也可使首项为；
故对数列，都存在正整数，使得的首项为；
综合可知，对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为．
不存在满足条件的数列，使得的首项不为原因如下：
以上结论可转化为：任意数列，的首项均为．
由变换的可逆性，又可转化为：任意首项为的数列，均可经过不多于步的逆向变换，可转化为任意原数列．
不妨设原数列为．
首先，定义逆变换：设是正整数，对数列，
若存在，，定义逆变换为，
对正整数，定义为．
由可知，任意数列，要使首项为，当数列中任意项，时，数列才可能取到最大变换次数．
故结论还可转化为，数列，可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置下面用数学归纳法证明该结论．
当时，数列，经过一次逆变换得．
由，
假设时，数列可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置．
则当时，对数列，
先将前项即数列：，作逆变换，
由归纳假设，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置，记为；
再作一次逆变换可得数列，其中第项，
假设，
故后面的变换只与前项有关，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置，
故共不超过步逆变换．

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