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4.4.2平面与平面垂直（第二课时）题型分类练习
学习目标：
1．掌握空间中面面垂直的性质定理.
2．能够运用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
3．理解面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.
方法要点：
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直. 应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
典型例题：
题型一、平面与平面垂直的性质定理及应用
例题1：
1．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面；
变式1：
2．如图，在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，，，平面平面. 求证：
(1)平面；
(2).
题型二、空间垂直关系的综合问题
例题2：
3．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
变式2：
4．如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．
(1)求证：平面平面BCD；
(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.
课堂检测：
5．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面（ ）
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都有可能
6．已知，，是直线，，是平面，，，，，，则直线与的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直
7．已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（ ）
A．只有一条，不一定在平面内
B．有无数条，不一定在平面内
C．只有一条，一定在平面内
D．有无数条，一定在平面内
8．是两条不同直线，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．如图所示，已知，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，则线段的长为_______．
试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．
在矩形中，，且是的中点，
，故，
又，则，即，
如图，记，连接，
因是矩形，故是的中点，又，所以，
又平面平面，平面平面平面，故平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面.
2．(1)
因为点、分别是棱、的中点，，
平面，平面，平面.
(2)
因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
平面，，
，，平面，
平面，
3．（1）见证明；（2）见证明；（3）见证明；
(1)取EC的中点F，连接DF.∵FCBD，∴四边形BDFC为平行四边形．∴DF∥BC，又EC⊥BC，∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，
∴MN∥BD，∴点N在平面BDM内．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN 平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵BDEC，MNEC，∴MNBD.
∴四边形MNBD为平行四边形，∴DM∥BN，
由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又DM 平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
4．(1)
在直角梯形ABCD中，取DE中点为M，连接AM，
则DM=EM=1，AM=BC=1，所以，
所以，所以，
因为D－AE－B成直二面角，所以平面平面，
又平面平面=AE，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因为平面BCD，所以平面平面BCD；
（2）如图，分别取线段BD，AB的中点F，G，
连接，则，
又平面，平面，所以平面，
在直角梯形ABCD中，且，
所以四边形AGCE为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面ADE.
所以当点F线段的中点时，平面ADE.
5．D
两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面可以：平行，垂直，斜交
故选：D
6．C
因为，，，，所以，
又，所以．
故选：C.
7．C
根据面面垂线的性质定理可知，当平面垂直平面时，
过平面上一点且垂直于平面的直线，在平面内只有一条.
故选：C.
8．D
A选项，如图，满足，但不平行，A错误；

B选项，若，则可能平行，可能相交，B错误；
C选项，若，则，C错误；
D选项，如图，设，点是平面内一点（不在上），

过点作，垂足为，过点作，垂足为，
因为且，且，，
所以，，
又，即，故，，
又，所以，D正确
故选：D
9．
连接，由，
因为，，，，所以.
又因为，所以，因此是直角三角形.
在中，有.
进而在中，有.
答案第1页（共2页）
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