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北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.设，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
5.已知的展开式中的常数项为，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若存在，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了( )
附：．
A. B. C. D.
9.我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是已知某音是由个不同的纯音合成的，其函数为，则( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小正周期为 D. 在上单调递增
10.设函数若恰有个不同零点，则正实数的范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知，则 ．
13.已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 ．
14.已知函数，若关于的方程恰有三个互不相同的实数解，则实数的取值范围是 ．
15.对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”给出以下问题：
在区间上可被替代；
可被替代的一个“替代区间”为；
在区间可被替代，则；
，，则存在实数，使得在区间上被替代；其中真命题有 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数在时取得极小值．
求实数，的值；
求函数在区间上的最值．
17.本小题分
在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，记点的横坐标为，其中．
求锐角的值；
若，求的值；
求函数的最值．
18.本小题分
在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；
函数；
函数；
问题：已知________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
Ⅰ求的单调递增区间；
Ⅱ若，，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求证：存在极大值点；
求的零点个数．
20.本小题分
已知椭圆的离心率为，并且经过点
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值
21.本小题分
设数表是一个由和构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为记为的第行各数之和为的第列各数之和为的最大值．
对如下数表，求的值．
设数表，求的最小值：
已知为正整数，存在，若，且的任意两行中最多有列各数之和为，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 答案不唯一
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：由题意，，
由题意得，解得，，
此时，则，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极小值，符合题意，
所以，；
由可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又因为，，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
17.【答案】解：由于锐角的终边与单位圆相交于点，因此，
又因为为锐角，所以．
由知，，故由题意，，
因为，
由，，
所以．
由知，，．
因为，所以，
所以即时，；
即时，．
易知在上单调递减，在上单调递增，
；；；
所以在处取得最小值；在处取得最大值

18.【答案】解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为所以，
选择，则，得，所以，
所以，
因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，
所以，所以，，所以，，
因为，所以，所以，
选择，，
所以，所以，所以，
选择，
，
所以，所以，所以，
Ⅰ由，，
得，，
所以的单调递增区间为，．
Ⅱ若，，则，即，
因为，所以，
所以或，得或．

19.【答案】，
则，又，
则曲线在点处的切线方程为，即；
，
令，则，
故在上单调递增，
又，，
故存在，使得，
当时，，当时，，
则当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
故是的极大值点；
由得在、上单调递增，在上单调递减，
则，
又，
故在上有一零点，在上无零点，
故的零点个数为．

20.【答案】解：Ⅰ由题意可得，，，解得，，
所以椭圆的方程为：；
Ⅱ证明：
假设直线斜率不存在，即直线为，此时关于轴的对称点为点与点重合，不符合题意；
假设直线斜率不存在，且由题意可得直线的斜率不为，设为，，
设，，则，，，
设直线的方程为：，
联立，整理可得：，
，，，
，，，三点共线，，
，即，
整理可得：，
，
代入韦达定理可得：，
可得，所以，，
综上所述可证得：为定值．
21.【答案】解：数表的行和为：，
列和为：，
因此．
由题意知，中所有数字之和不小于，
即至少有个，要使得取到最小值，则中只有个，
如下表：
由上表可得 的最小值为，
下面说明：
当某行某列全都是时，则其它行或列的个数分别为：
，此时；
当某行某列只有个时，则其它行或列的个数分别为：
，此时；
当某行某列只有个时，则其它行或列的个数分别为：
，此时；
由上可知，．
，故中的所有数字之和为，
由题意定义得出，可得出，
当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去；
当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去；
当时，如下表所示，
每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，合乎题意；
当或时，无法满足“任意两行中最多有列各数之和为的条件”，故不成立．
综上所述：．

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