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北京市景山学校远洋分校2026-2027学年高三年级上学期10月月考
数学试题
一、选择题
1.已知全集，，则( )
A. B. C. D.
2.若函数与的图象关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.已知，则( )
A. 为奇函数，且在上单调递增
B. 为奇函数，且在上单调递减
C. 为偶函数，且在上单调递增
D. 为偶函数，且在上单调递减
5.在中，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
8.将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为( )
A. B. C. D.
10.年月日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的，两点各放置一个传感器，分别实时记录，两点与物体的距离科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离时间”函数图像，分别如曲线，所示．和分别是两个函数的极小值点曲线经过和，曲线经过已知，并且从时刻到时刻的运动轨迹与线段相交分析曲线数据可知，的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及的速度大小分别为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域是 ．
12.若函数在处的切线与直线平行，则 ．
13.欲测量河宽即河岸之间的距离河的两岸可视为平行，受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择，两个观测点，观察对岸的点，测得，，米，由此可得河宽约为 米．结果精确到米，参考数据：，，
14.设函数
若有两个零点，则实数的一个取值可以是 ；
若是上的增函数，则实数的取值范围是 ．
15.已知是非负常数，函数，给出下列四个结论：
在区间上有最小值和最大值；
当时，在区间上有最大值；
当时，方程的解集有个元素；
当时，方程的解集有个元素．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
16.已知函数在时取得极大值．
求实数，的值；
求函数在区间上的最值．
17.已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为．
求函数的解析式及其单调递增区间；
若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值．
18.在中，．
求的大小：
若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．
条件：；条件：的面积为；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，讨论的单调性；
若，为自然对数的底数，证明：．
20.已知函数．
求曲线在处的切线方程；
若在上恒成立，求实数的最小值；
求证：对任意的，都有．
21.已知是元数组集合，是的非空子集对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数．
当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度；
当时，设是的子集且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由：
设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明：
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 内的值都可以 或
15.【答案】
16.【答案】解： ，由题意得 ，解得 ．
此时 ， ，
当 时， ，所以 在 单调递增，
当 时， ，所以 在 单调递减，
当 时， ，所以 在 单调递增，
所以 在 时取得极大值．
所以 ．
由可知， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增．
又因为 ， ， ， ，
所以函数 在区间 上的最大值为，最小值为．

17.【答案】解：因为对任意恒成立，且的最小值为，
所以，根据，得到，
又因为的图象经过点，所以，
即，解得，
即，又因为，
所以取可得，
所以，
因为正弦函数的单调递增区间为，令，
所以，解得，
所以单调递增区间为；
，
因为，所以，
当时，即时，，
当或时，即或时，．

18.【答案】解：由余弦定理及，得，
得，即，
又，所以，
因为，所以．
当选择条件时，，
由知，．
所以
．
所以．
因为，所以，
所以，即，则，
所以是以为斜边的直角三角形．
因为，所以．
所以边上的中线的长为．
选，的面积为，
即，即，解得，
因为，由余弦定理得，
即，解得，
由基本不等式得，但，出现矛盾，
故此时三角形不存在，不能选．
选条件：．
由余弦定理得，即．
设边上的中线长为，由余弦定理得
．
所以边上的中线的长为．

19.【答案】 当时，函数在，上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在是单调递减，
当时，函数在，上单调递减，在上单调递增 证明：因，
要证，只需证，即，
令，，
因此只需证即可，
因为，
再令，则，
因，所以，得，即，
所以在上单调递增，且，，
由零点存在性定理，存在唯一，使得，即，
所以在有唯一零点，
且当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，
所以对，都有成立，
即，即，
所以当，成立
20.【答案】解：，
因为，所以曲线在处的切线方程为；
，即在上恒成立，
则在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，
若，则在上恒成立，不符合题意；
若，则的对称轴为，
若，则，则，
则在上单调递增，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
若，即，则在上存在一个零点，
则当时，，在上单调递增，
则，不符合题意；
若，即，则，在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意，
综上，实数的最小值为；
因为，
则当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
则，
又，且时，故，
欲证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
令，，则，
则在上单调递减，则，命题得证．

21.【答案】．
当时，满足题意．
中有个元素，与间的距离为．
要想满足，集合中的任意两个元数组中至少有两个数不同．
不妨选定是的子集中含数组，则集合中的元素有如下几种情况：
含有与有两个不同数的数组中的任意数组；
含有与有三个不同数的数组中的任意数组；
含有与有四个不同数的数组中的任意数组；
同时含有与有两个不同数的数组和与有四个不同数的数组．
因为，所以集合中最多有个元素，即．
故集合中元素个数的最大值为．
因为，所以集合中至少可以包含两个元素，故，
不等式右侧为。
对于，恒成立，因此，，原不等式得证

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