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北京市石景山区第九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题的否定是( )
A. B.
C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.若，，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. 为奇函数，且在上单调递增
B. 为奇函数，且在上单调递减
C. 为偶函数，且在上单调递增
D. 为偶函数，且在上单调递减
6.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.自然对数的底数的提出与连续复利问题有关十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是，银行年利率是，是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当趋于无穷大时，本利和将趋于当计息次数时，一年后本利和约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
9.函数的图象与直线的交点个数的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.若关于的不等式的解集为，则 ．
13.已知定义在上的函数，的图象如图所示，其导数为，则不等式的解集为 ．
14.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围 ．
15.已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：若，，则；若，，则下列结论正确的是 ．
函数可能是奇函数；
函数可能是周期函数；
存在，使得；
对任意，都有．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
若不等式的解集为，求不等式的解集．
解关于的不等式
17.本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
求函数在上的最大值．
18.本小题分
已知函数
若，求曲线的斜率为的切线方程；
求函数的单调递增区间；
若函数在上恰有个零点，直接写出的取值集合．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ判断是否为的极小值点，并说明理由；
Ⅱ证明：．
20.本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求的最大值；
若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．参考数据：，
21.本小题分
设是定义在的可导函数，且不恒为，记若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”为函数的导函数．
判断函数是否既是“阶负函数”又是“阶不减函数”，并说明理由；
若既是“阶负函数”，又是“阶不减函数”，求实数的取值范围；
对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：不等式的解集为，
得、是一元二次方程的两个根，
则，解得．
，即，解得；
不等式的解集为．
当时，，解得；
当时，．
令，解得，．
当时，，由，解得；
当时，，由，解得或；
当时，，由，解得；
当时，，由，解得或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．

17.【答案】解：由函数，则，即，
所以函数的定义域为．
函数在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
又，则，，
又，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增，证毕．
结合有在上单调递增，
则在上也单调递增，
所以函数在上的最大值为．

18.【答案】解：因为，
所以，，
设斜率为的直线与相切于，
令，解得或，
当时，切点为，
此时切线方程为；
当时，切点为，
此时切线方程为：，
即；
综上，所求切线方程为：和；
解：因为，
所以，
令，得或，
所以函数的单调递增区间为；
解：令，
则，
令，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，又，，
又因为函数在上恰有个零点，
即直线与的图象在上只有一个交点，
如图所示：
由此可得或，
解得或，
所以实数的取值集合为

19.【答案】解：Ⅰ是的极小值点，理由如下：
对函数求导得，
当时，，，所以．
当时，，可知，，所以．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以是的极小值点．
Ⅱ证明：，即，即，
记，，
求导得，
当时，易知，所以函数在区间上单调递增．
又，可得当时，，
即当时，不等式成立．
即当时，不等式成立，
当时，，
即当时，不等式成立．
即当时，不等式成立，
综合上述，不等式成立．
20.【答案】由，得，
由于在上单调递增，故在时恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
故，
故，即得最大值为；
时，，则，
令，则
若存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直，
则存在，，使得，
令，
当当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
即时，，故存在，，使得，
例如，，符合题意．

21.【答案】解：既是“阶负函数”又是“阶不减函数”．
理由：因为，所以．
，
所以既是“阶负函数”又是“阶不减函数”．
因为是“阶负函数”，
所以，因为，得，
令，在上单调递增，所以，
要对成立，故．
又是“阶不减函数”，
所以对所有恒成立，
得对所有恒成立，所以．
综上，实数的取值范围．
不一定为“阶负函数”．
理由如下：构造反例说明存在反例，构造函数
对应，即
显然函数在上处处可得，
当时，；当时，，所以函数在处可导．
因此函数在上处处可导，且不恒为．
当时，，单调递增；
当时，，为常函数；
因此对，，所以是“阶不减函数”．
取常数，因为，所以对所有恒成立，满足条件．
又当时，，不满足“对任意，”的定义，因此不是“阶负函数”．
再构造函数，，，
所以为“阶不减函数”，
对任意，，取常数，则恒成立．
又对任意，，所以为“阶负函数”．
综上所述，既存在满足条件但不是“阶负函数”的函数，也存在满足条件且是“阶负函数”的函数，
因此，函数不一定为“阶负函数”．

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