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北京市中国科学院附属实验学校2026-2027学年第一学期10月质量检测高三数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.若函数在处取得最小值，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，则( )
A. B.
C. D.
5.将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合则可以是( )
A. B.
C. D.
6.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
7.已知，是无穷数列，是常数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为( )
A. B. C. D.
10.曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域．已知从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形，其中，为定点，，为动点，，，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知若两个不等的实数，满足且的最小值为，则 ．
13.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在直线上，则 ．
14.已知数列的前项和为为常数，写出一个有序数对 ，使得数列是递增数列．
15.在棱长为的正方体中，点在线段上不与重合，于于，以下四个结论：
平面；
线段与线段的长度之和为定值；
面积的最大值为；
线段长度的最小值为．
其中所有正确的结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，．
求的值：
若，求及的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．

求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
记平面与平面的交线为试判断直线与的位置关系，并说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若，求的最小值；
若存在极小值，求的取值范围．
19.本小题分
设函数．
若，，求的值；
已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值．
条件：当时，取到最小值；
条件：；
条件：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论在区间上的零点个数；
若，其中，求证：．
21.本小题分
若有穷正整数数列：，，，，满足如下两个性质，则称数列为数列：；对任意的，都存在正整数，使得．
判断数列：，，，，，和数列：，，，，，，，是否为数列，说明理由；
已知数列：，，，，是数列．
证明：对任意的，与不能同时成立；
若为奇数，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】答案不唯一
15.【答案】
16.【答案】解：由余弦定理得 ，
代入已知等式：得，
化简得：，则，
因为 ，所以 ，即．
因为，由余弦定理，
可得：，
将 代入上式可得：，化简得解得．
所以三角形面积：．

17.【答案】因为平面，平面，所以，
又因为，，所以，
又因为平面，所以平面．
由可知，，，，
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
由得所以，令，则，
又因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则
．
直线理由如下：

因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，所以．

18.【答案】Ⅰ当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则；
Ⅱ，
当时，，在上单调递减，无极小值；
当时，令，解得，
易知当时，，单调递减，当时，，
单调递增，
则当时，取得极小值．
综上，实数的取值范围为．
19.【答案】由，，得．
则；
，
，
．
选择条件：
因为在区间上单调递增，
且是函数的图象的对称轴，
又当时，取到最小值，所以，
故．
因为，所以．
所以，．
又因为，
所以，得．
又因为，所以．
选择条件：
因为在区间上单调递增，
且是函数的图象的对称轴，
又在区间上单调递减，所以，
故．
因为，所以．
所以，．
又因为，
所以，得．
又因为，所以．
选择条件不能求出参数值，故不能选条件．

20.【答案】解：由，得且，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
当时，，，所以，
所以在区间上无零点；
当时，，，所以，
所以在区间上单调递增，
又，，
所以在区间上仅有一个零点，
综上，在区间上的零点个数为．
证明：设，即，
所以，
设，，
因为时，，，所以，
所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
故，所以在区间上单调递增，
故，所以，
因为，所以，
又，所以．

21.【答案】数列不是数列，理由如下：
对于数列，因为，，且对任意的正整数，有
，
所以数列不满足性质，所以数列不是数列；
数列是数列，理由如下：
对于数列，因为，，，，
所以数列满足性质，
又因为，，，，
，，，
所以数列满足性质．
所以数列是数列．
假设存在，使得，
由性质，可得，
由性质，存在正整数，使得，
又因为，所以，故，
所以，
而，矛盾，
所以与不能同时成立；
由性质，当时，可得，
又因为，为正整数，所以，
由性质，对任意的，有，
因为对任意，，
所以，
所以
，
当，，
时，
上述不等式取到等号，且此时数列满足和，是数列，
综上，的最大值为．

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