资源简介

北京市第二十四中学2026-2027学年第一学期高三年级10月月考
数学试卷
一、选择题
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.在复平面上，复数所对应的点在第 象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.展开式中含项的系数是( )
A. B. C. D.
4.为了得到的图像，只需将函数的图像( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
5.已知边长为的正方形中，点，分别为，的中点，则( )
A. B. C. D.
6.记等差数列的前项和为，已知，，则．
A. B. C. D.
7.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，三个内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是直角三角形”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
9.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于经测定，刚下课时教室内空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间单位：分钟的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为 参考数据
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
10.已知函数的定义域为，存在常数，对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域是 ．
12.等比数列的各项均为正数，且，则 ．
13.已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则 ．
14.已知函数，且，若两个不等的实数满足且，则 ．
15.已知函数，给出下列结论：
函数的值域为；
函数在上是增函数；
对任意，方程在内恒有解；
若存在，，使得成立，则实数的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16.在中，，．
求；
再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长．
条件：的面积为；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.已知函数，．
求的值；
求在区间上的最大值和最小值及相应的值．
18.为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生
女生
Ⅰ从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
Ⅱ从该校的高一学生中，随机抽取人，记成绩为优秀分的学生人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论
19.四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点
求证：平面
求二面角的平面角的余弦值
在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
20.已知函数图象在点处的切线与直线垂直．
求实数的值
若存在，使得恒成立，求整数的最大值．
21.设为正整数，集合，对于集合中个元素，若，则称具有性质记，为中的最小值．
当时，若，判断是否具有性质如果是，求出；如果不是，说明理由；
当时，若具有性质，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：因为，
由辅助角公式有：，
即，因为，所以，
所以，解得．
选条件：的面积为，
由正弦定理有：，
即，，
由余弦定理有：，即，
解得：，所以的周长为．
选条件：，
因为，由，所以为等腰的三角形，所以，
因为，所以，
由余弦定理有：，即，
解得，所以的周长为．
选条件：，
由由余弦定理有：，即，
整理得：，解得或，
此时不唯一，所以条件不合要求．

17.【答案】解：，
，解得，
又，则；
，
，
，
则当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．

18.【答案】解：Ⅰ设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件，
由表格得：从抽出的名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，
其中男生成绩高于女生，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以事件有种组合，因此；
Ⅱ由数据知，在抽取的名学生中，成绩为优秀分的有人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为，
因此从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数可取，，，且，
，，，，
所以随机变量的分布列为：


数学期望．
Ⅲ男生的平均成绩为，则；
女生的平均成绩为，则；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为分的学生组成新的男生样本，
所以，则；
所以．
19.【答案】因为，是的中点，故，
而平面平面，平面，平面平面，
故平面，而平面，故．
在中，，故，同理．
在直角梯形中，，
故即，而，
故平面．
在平面中，过作，则，
而由可得平面，而平面，故，
故可建立如图所示的内角直角坐标系，其中轴在上，
则
故，
设平面的法向量为，
则，故，取，则，
故，
设平面的法向量为，而，
故，则，取，故，故．
故，而二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角的余弦值为．
设，则，故，
故．
若平面，则，故即，
故在侧棱上存在点，使得平面，此时．

20.【答案】解：，，
切线与直线垂直，切线的斜率为，
，即，故；
由知，，，，
令，，则，，
由对恒成立，故在上单调递增，
又，，
存在使
在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
在处取得最小值
恒成立，所以
由得，，所以，
，又
，
，
的最大值为．
21.【答案】解：因为，所以具有性质；
因为，
所以．
方法：由性质得，所以，
因为，
所以，
则，，，
所以，
所以，
又因为当时，
具有性质，
且，
所以的最大值为．
方法：先用反证法证明，
假设，由，则，
所以，同理，所以，
由，所以，
与已知矛盾，假设不成立，所以，
当时，，此时，
所以的最大值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑