资源简介

北京市第三十五中学2026-2027学年高三上学期10月月考
数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的偶函数，且满足；当时，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，则( )
A. 是奇函数且在上是增函数 B. 是偶函数且在上是增函数
C. 是奇函数且在上是减函数 D. 是偶函数且在上是减函数
7.曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若函数有四个零点，其中，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知函数的最大值为，则( )
A. B. C. D.
10.已知，用表示，中的最大值，设若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域是 ．
12.函数在上单调递减，则的取值范围是 ．
13.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：奖励金额单位：万元随着销售额单位：万元的增加而增加，且增长速度越来越慢；销售额为万元时，奖励金额为万元，销售额为万元时，奖励金额为万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到万元的奖励，则他的销售额应为 万元．
14.已知函数，若则的最小值是 ；若的最小值是，则 ．
15.如果的定义域为，存在实数，使得对于定义域内的任意，成立，则称此函数具有“性质”给出下列命题：
函数具有“性质”；
若奇函数具有“性质”，且，则；
若函数具有“性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增；
若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，，都有成立，则函数是周期函数．
其中正确的是 写出所有正确命题的编号．
三、解答题
16.在等比数列中，，公比，设．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若是和的等差中项，求的值；
Ⅲ求数列的前项和．
17.已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
18.已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数的单调减区间；
当时，求的最值．
19.近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，年月至年月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下单位：万辆：
月 月 月 月 月 月
轿车
从年月至年月中任选个月份，求该月零售销量超过这个月该车型月度零售销量平均值的概率；
从年月至年月中任选个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为，求的分布列和数学期望；
记年月至年月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到个数据的方差为，写出与的大小关系．结论不要求证明
20.已知函数设是曲线在点处的切线，且点是曲线的最低点．
求点的坐标；
若点与点不重合，求证：存在这样的切线，使得经过点；
是否存在过原点的直线，请直接写出结果存在或不存在．
21.设，已知由正整数组成的集合，集合，，，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，设，令是，，，中的最大值．
若，，且，求，，及；
若，集合，，，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
若，，集合，，，中的元素个数均为，且，求证：的最小值为．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：Ⅰ因为等比数列中，，公比，
所以；
Ⅱ因为，
所以，
又因为，所以和的等差中项；
Ⅲ因为，
所以
．
17.【答案】解：当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即．
解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以的取值范围为．

18.【答案】解：
的最小正周期
由正弦函数单调性可知，当时，函数单调递减．
解得
所以函数的单调递减区间为
当时，即时，取得最小值，
当时，即时，取得最大值，
的最小值为，最大值为．

19.【答案】解：由上表可知，这个月的零售销量分别为：
所以这个月销量的平均值
这个月中，销量超过的有个月份，故所求概率为
由上表可知，年月至年月中的销量与上个月份相比增加的月份有月、月，共个月，
未增加的有个月从这个月中任选个月，的可能取值分别为．
所以 的分布列为：
数学期望
设轿车月度零售销量数据为，月度零售销量数据为，轿车和月度零售销量数据之和为，
则，，
可得
则

20.【答案】解：函数的定义域为，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，取得最小值；
，
故点的坐标为；
曲线在处的切线斜率为，切线方程为：，
将代入切线方程：，整理得：，
设，则，
当时，，对应点处的切线，
又，，
则存在，且，使得，
即存在与不重合时，切线经过点，得证．
不存在，理由如下：
由知曲线在处的切线方程为：，
若过原点，则，
整理得，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，取得最小值；
，则恒成立，
即方程无解，
故不存在过原点的直线．

21.【答案】根据和可得，故，
设使得，
则，所以．
所以至少有个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，不符题意．
当时，，元素个数为的非空子集有，
元素个数为的非空子集有．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，
则，．
所以的最小值为
由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第列之和．
因为是数表第行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，
时，
，
．
所以的最小值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑