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4.5.2几种简单几何体的体积题型分类练习
学习目标：
1．了解柱、锥、台、球几何体的体积公式.
2．会用公式解决简单的实际问题.
方法要点：
简单几何体体积的求法
（1）直接法：直接套用体积公式求解．
（2）等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．
（3）分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的空间图形．
（4）补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形．
典型例题：
题型一、柱体、锥体、台体的体积
例题1：
1．如图，平行六面体的容器可任意放置，的中点与平面中心均为小孔，则平行六面体最多盛水量是平行六面体体积的多少倍？

变式1：
2．如图，长方体中，，，，过作长方体的截面使它成为正方形.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求 .
题型二、有关球的体积问题
例题2：
3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm．若不计容器的厚度，求球的体积．
变式2：
4．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，求球O的体积.
题型三、简单组合体的体积
例题3：
5．如图是一个奖杯的直观图，它由球 长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长 宽和高分别为，正四棱台的上 下底面边长和高分别为．

(1)求下部分正四棱台的侧面积；
(2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3）
变式3：
6．楔形中，底面是边长为S的正方形，平面ABCD，，其余棱长都是S，若，求这个楔形的体积．
课堂检测：
7．将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．由棱长为的正四面体与三棱锥拼接成的组合体的五个顶点都在同一球面上，则该组合体体积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
11．如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________．
试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．
的中点与平面中心均为小孔，水位不能超过这些小孔的位置，
总共有两种放置方式如图所示，分别计算去掉阴影部分体积后的部分体积.
如左图，假设平行六面体的体积为，底面的面积为，底面上的高为，则，
因的中点分别为，
则盛水容积为；
如右图，平面的中心为，
则盛水容积为，
因，故最多盛水量为，即是平行六面体体积的.

2．（1）解：由题可得：，
（2）因为，
在长方体中平面，
所以三棱锥的高为，
所以
．
3．
设球的半径为，
则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为，
所以即，，
所以球的体积为.
4．
如图所示，设球O的半径为R，的半径为r，
因为的面积为，所以，解得，
又，所以，
解得，故，
所以，，
所以，球O的体积.
5．（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为，，，
则该四棱台的斜高为，
所以正四棱台的侧面积为；
（2）因为，
，，
所以这个奖杯的体积.
所以这个奖杯的体积约为.
6．288
如图，过AD，BC分别作截面ADH和BCG垂直于EF，取的中点，连结，
由条件可知，，平面，
于是将原图形的结构进行了改建，易见中间图形是直三棱柱，两端是两个全等的四面体，
，，所以，整个图形的体积便是这三个子图形的体积之和．
又，，
又，所以．
7．B
用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方，
得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱，
所以所求几何体的体积.
8．A
解：如图正三棱锥，设其高为PO，为底面中心，则为底面重心，所以，
故，故三棱锥的体积为．
9．A
设长方体外接球的半径为．
因为，所以，该长方体外接球的体积．
10．A
设外接球的半径为，
将棱长为的正四面体放入棱长为1的正方体中，如图：
所以四面体的外接球为正方体的体对角线，即，
所以当为球的直径时，组合体的体积最大，
所以该组合体的体积为：，
故选：A.
11．
解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面，
取MN的中点H，连接，因为平面，
所以平面平面，所以，
又因为平面，
所以平面，，，
所求几何体的体积为
解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，
又，
所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱，
其中，，
因此，即，
根据三棱柱体积公式，，
故该几何体的体积是．
答案第1页（共2页）
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