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北京教育学院附属丰台实验学校2027届高三年级上学期数学阶段性测试试题（二）
一、选择题
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.设，，，则
A. B. C. D.
5.如图，在中，，则( )
A. B.
C. D.
6.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则( )
A. B. C. D.
8.已知是公差为的等差数列，集合，若，则( )
A. B. C. D.
9.设，其中，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间单位：依次为，，，其中一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域为 ．
12.若，且，则 ，的最大值为 ．
13.我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式其中常数将声音频率单位：转换为若的取值范围是，则的取值范围是 ．
14.已知等比数列的公比为，且，则满足条件的一个的取值为 ．
15.已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
三、解答题
16.已知函数．
求的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．
17.已知函数．
从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．
求的值；
求在区间上的最大值和最小值．
条件：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；
条件：；
条件：函数在区间上具有单调性，且．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知数列满足，，数列满足，且是公差为的等差数列．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求的前项和．
19.某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得在同一平面内
求两点之间的距离；
判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
20.已知：函数与在处具有公共切线
求和的值；
求曲线与曲线的公共点坐标；
若对恒成立，求的最大值．
21.已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质；
；
对任意的、，与至少有一个是数列中的项．
分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；
若数列具有性质，求证：；
若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】．
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】答案不唯一，满足即可
15.【答案】
16.【答案】解：函数的定义域为，
则，
因为恒成立，令，得或，
与的变化情况如下表：
极大值 极小值
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
由知在单调递增，单调递减，单调递增，
而，，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．

17.【答案】解：
选条件：根据题意，解得，即，因为，所以，
则，．
选条件：由，可得，
因为正弦函数的值域为，而，所以此条件下函数不存在．
选条件：因为函数在单调，且，
所以，解得，即，因为，所以，
则，．
据题意，，，
当，即时，，所以的最大值为．
当，即时，，所以的最小值为．

18.【答案】共分
解：Ⅰ由，，是首项为，公比为的等比数列．分
所以 分
因为 ，分
所以是首项为，公差为的等差数列．
可得 分
所以 分
Ⅱ由Ⅰ知，．
数列的前项和为
分
分
分 分
19.【答案】解：依题意， ， ， ，
所以 ，
，所以 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 ．
在三角形 中，由余弦定理得 ，
，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
，
直线 与直线 不垂直，理由如下：
，
所以直线 与直线 不垂直．

20.【答案】解：由，，得，，
两函数在处有公共切线，需同时满足且，得
且，解得；
由得，，构造差函数，两曲线的公共点对应的解，
，
由基本不等式得，当且仅当时取等号；
因此，当且仅当时等号同时成立，
故在上单调递增，又，
因此是的唯一零点，即两曲线的公共点坐标为．
当时，，不等式等价于，
令，，则．
当时，由知在恒成立，
因此，满足恒成立条件．
当时，令，，则．
当时，和均单调递增，故单调递增，
因此，即在上单调递增，又，
，故存在唯一，使得，即，
当时，，单调递减，因此，
即，不满足恒成立条件，
综上，的最大值为．

21.【答案】解：对于数列、、、，因为，，
所以，数列、、、不具有性质；
对于数列、、、，当时，，，
所以，数列、、、不具有性质．
证明：因为，
因为，则为数列中的项，所以，，
设且，因为，则不是数列中的项，
所以，为数列中的项，
因为，
所以，，，，，
上述等式全部相乘可得，因此，．
解：当时，由可知，
由题意可得，这与数列是等比数列矛盾；
当时，由可知，数列、、、具有性质；
当时，由可知，，
当时，，所以，不是数列中的项，
因为，，
所以，，，，，所以，，
因为，所以，，，
所以，，，所以，，
由可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意．
综上所述，．

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