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福建南平市2026-2027学年高三上学期9月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
3.已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知集合，，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
6.深海发光生物单次发光释放的光能单位：焦耳与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的 参考数据：
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
7.设函数在上的导函数为，且，则当时，必有( )
A. B. C. D.
8.的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，若，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.定义两个正数，的运算：，，则( )
A.
B.
C. 的最小值为
D. 当时，的最小值为
11.已知是定义在上的偶函数，为奇函数，，且对任意，，当时，恒成立，则( )
A. 的图象关于点对称
B.
C. 在上单调递增
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为 ．
14.已知函数若，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的解析式；
将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象，求．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若的最小值为，求的最大值．
18.本小题分
已知函数．
若，求在上的值域；
若对恒成立，求的取值范围；
讨论在上的零点个数．
19.本小题分
已知函数．
当时，证明：．
已知有三个极值点，记为，，．
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：方法一：因为，
所以．
方法二：令，则，
得，
所以
方法一：由题意得．
因为是奇函数，所以，
即，解得．
故，．
方法二：因为是奇函数，所以，得，
故，．

16.【答案】解：由不等式，解得，即，
当时，集合，所以；
解：由知：集合，可得或，
又由集合
当时，，所以，
若，则满足，解得，
所以实数的取值范围是．

17.【答案】解：由，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，则，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值；
当时，在处取得最小值，，
所以，
求导得，
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，
所以．

18.【答案】解：由，令，则，故．
当时，由得，故，即值域为．
由得，即．
当时左边为，不等式恒成立；当时，故只需对一切成立．
若，则在处取最小值，由得；
若，则随增大而减小，由得，故只需，即．
综上的取值范围为．
，，即，其中，故即恒为零点．
时，只有个零点；
当时，的解不在内，此时只有个零点；
当时，的解为：
若，则，于是也是零点，
且当时该零点与重合，
故时有个零点，
时有个零点；
若，则，该解不在内，此时只有个零点．
综上所述，当或或时在上有个零点，
当或时在上有个零点．
19.【答案】解：证明：当时，，则．
令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增，
所以，即．
由，得或，
因为有三个极值点，所以有三个异号零点，
所以关于的方程有两个不等于的解．
易知不是方程的解，设，则．
令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增．
当时，，若，则，若，则．
当时，，若，则，若，则．
所以，即的取值范围是．
(ⅱ)证明：不妨设．
由(ⅰ)知，当时，有三个极值点，且为其中一个极值点，则，
且，，等式两边取对数并整理得，，．
设，则，
则，则在上单调递减，在上单调递增，
先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证．
令，，
则，
则在上单调递减，所以，则，则，则．
再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证．
令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以．
故

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