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四川省南充市九师联盟2026-2027学年高三上学期10月学业评估联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量、不共线，，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.年月日日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有名操作员和名人形机器人每名操作员固定控制名人形机器人，赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，将射线绕着原点按逆时针方向旋转角得到射线，若射线经过点，则( )
A. B. C. D.
7.近年来，新能源汽车特别是电动汽车销量快速增长，充电基础设施仍存在布局不够完善、结构不够合理、服务不够均衡、运营不够规范等问题．为进一步构建高质量充电基础设施体系，某市计划在年新建设万个新能源汽车充电桩，后面每年新建设的充电桩数量比上一年增加，按照这样的发展趋势，若从年起，到年，该市新建设的充电桩数量之和在万个与万个之间含万个和万个，则( )参考数据：，
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则( )
A. 的短轴长为 B. 的离心率为
C. 的周长为 D. 的面积为
10.已知函数，且存在，，使得，则( )
A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为
C. D.
11.已知函数，的定义域均为，且，若直线是图象的一条对称轴，且，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称
C. 是的一个周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆锥的高为，母线长为，则该圆锥的体积为 ．
13.已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.已知，，都是正数，且随机变量的分布列如下：
若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取名游客进行调研，将得到的评分满分分，分及分以上为及格分成五组：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
从这名游客中随机抽取人，求此游客的评分不低于分的概率；
该市为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，采取专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，得到的数据和列联表如下：
评分不及格 评分及格 合计
专项整治行动前
专项整治行动后
合计
补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？
附：，
16.本小题分
在各项都是正数的数列中，，．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，．
证明：平面；
是棱上一点，若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．
18.本小题分
已知函数．
若，求函数的图象在处的切线方程；
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若函数有两个极值点、，证明：．
19.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线为，且的焦距为，动直线：交于，两点，其中为定值且．
求的方程；
若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积；
是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意，得，解得．
因为，，
所以从这名游客中随机抽取人，则此游客的评分不低于分的概率为．
列联表如下：
评分不及格 评分及格 合计
专项整治行动前
专项整治行动后
合计
统计假设：评分是否及格与专项整治行动无关．
由题意得，
由查表可得，
因为，所以统计假设不成立，
根据小概率值的独立性检验，可以认为评分是否及格与专项整治行动有关．

16.【答案】解：由，
得，
又，所以．
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列．
所以，即．
证明：由知，所以．
所以．
因为，所以，．

17.【答案】解：证明：因为，所以，．
因为四边形是菱形，所以．
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
因为，，，平面，所以平面．
记，过点作，则平面，
因为平面，所以，，
即，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示．
设，因为底面是菱形，，所以，，
，，，，．
设，则，即．
，，
设平面的法向量为，
则，即
令，得，，所以是平面的一个法向量．
又，，设平面的法向量为，
则，即
令，得，，所以是平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，所以，
又，所以，
解得舍或，所以．

18.【答案】解：由，得，则，
的导函数，故，
所以函数的图象在处的切线方程为，即．
函数的定义域为，
由，得，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，则，
令，得．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，即．
所以，即实数的取值范围是．
证明：因为函数有两个极值点、，
所以有两个不同的正根，
所以且，，解得．
，
令，，则，
令，，则恒成立，
所以在单调递增，
又，，
所以，使得，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值．
即
，
因为，所以，所以，即．

19.【答案】解：因为双曲线的渐近线为，所以由题意知，即，
由的焦距为，得，即，故，
所以，，
所以的方程为．
圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以，解得舍或，
所以的方程为，即．
设，，联立方程得，
所以，．
所以．
又原点到的距离，
所以的面积为．
存在，或．
理由如下：
设，，
联立方程得，，
所以，．
假设定点在以线段为直径的圆上，则，
又，，
所以，
即，
所以，
，
整理得，
该式对任意恒成立，所以各项系数必须全部等于，得
若，则，方程无解，所以，，
当，时，，解得舍或；
当，时，，解得舍或．
综上所述，或．

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