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第四章：立体几何初步章末复习同步练习
知识要点
1．多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2．旋转体的结构特征
（1）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 相互平行且相等并 垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 平行四边形 扇形 扇环
（2）球的截面的性质
①球的任何截面都是圆面；②球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r2＝R2－d2.
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．空间几何体的表面积与体积公式
空间几何体的表面积与体积公式
名称几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
5．平面的基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
5．空间两条直线的位置关系
（1）两条直线的位置关系
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，无公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角①作法：平移直线；②范围：.
（3）异面直线的判定
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
（4）等角定理：若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
7．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
（1）直线与平面的位置关系：相交、平行、直线在平面内．
（2）平面与平面的位置关系：平行、相交．
（3）注意点：直线l与平面α相交、直线l与平面α平行统称直线在平面外，记作l α.
8．直线与平面平行的判定定理和性质定理
（1）判定定理： a α，b α，a∥b a∥α .
（2）性质定理： l∥α，l β，α∩β＝b l∥b.
（3）注意点：
应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须具备，缺一不可．应用性质定理时要体会辅助面的作用．
9．平面与平面平行的判定定理和性质定理
（1）判定定理： a α，b α，
a∩b＝P，a∥β，b∥β α∥β.
（2）性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
（3）注意点：
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：(1)平面α内两条相交直线a，b，即a α，
10．直线与平面垂直
（1）判定定理： l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α.
（2）性质定理： a⊥α，b⊥α a∥b.
（3）注意点：判断定理中平面内的两条直线必须是相交直线．
11．平面与平面垂直
（1）面面垂直的定义：两个相交平面所成的二面角是直二面角．
（2）判定定理： l⊥α，l β α⊥β.
（3）性质定理： α⊥β，l β，α∩β＝a，l⊥a l⊥α.
（4）注意点：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
13．线面角和二面角
（1）线面角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角．
②特例：一条直线垂直于平面，它们所成的角是，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0.③范围：.
（2）二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角．
③范围：[0，π]．
公式概念应用
1．如果直线与平面外的一条直线垂直，则与在平面内的投影垂直.( )
2．当时，直线l过内一点且与交线垂直，则.( )
3．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
4．在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．若m，n为两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
基础巩固
1．如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）

A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．过空间中的任意三点有且只有一个平面
B．底面是平行四边形的四棱柱各面所在平面将空间分成27部分
C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面
D．若直线a在平面外，则平面内一定存在直线与a平行
3．如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
5．已知三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______．
能力提升
6．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ）
A．为正三角形
B．
C．与底面所成角的正弦值为
D．点到平面的距离为
8．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，E为棱的中点，P为棱的中点，，．

(1)证明：平面平面．
(2)求点A到平面的距离．
9．如图，在四棱锥中，
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的正弦值．
10．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值.
.
试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．错误
如图，在平面内的投影为直线m，，
但直线与直线m不垂直，所以错误，

故答案为：错误．
2．错误
如图所示：

设平面，平面ABCD，
则，，且，
但不与垂直，
故错误.
3．正确

如图，直线相交于一点，且不共面，
则确定一个平面，确定一个平面，确定一个平面，
所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.
故答案为：正确.
4．D
因为，，则，故.
又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图：
所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长.
设三棱锥的外接球半径为，
则，故.
因此该球的表面积为，
体积为.
5．A
对于A，令，在平面取点，在此平面内作，
而，，则，而，则，
而，因此，A正确；
对于B，由，，，得或是异面直线，B错误；
对于C，在长方体中，平面与平面分别为，
直线分别为，满足，
而平面，即，C错误；
对于D，由，，得或，D错误.
故选：A.
基础巩固
1．B

如图，过作下底面的投影，垂足为，
上底面对角线长，下底面对角线长，
则，
可得正四棱台的高，
所以正四棱台的体积.
故选：B
2．B
对于A，若空间中的三点共线，可以有无数个平面，即A错误；
对于B，如下图所示，四棱柱的上下底面所在平面将空间分成了三层，
每一层又被四个侧面分成了9个小部分，所以四棱柱各面所在平面将空间分成27部分,即B正确；
对于C，如选项B中图所示，与异面，与异面，但与在同一平面内，即C错误；
对于D，若直线a在平面外，当直线a在平面相交时，如下图所示：
则平面内不存在直线与a平行，即D错误.
故选：B
3．A
如图，取的中点，连接，
由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE，
平面，平面，所以平面，
又平面，且，平面，
所以平面平面，由平面，所以平面
又平面，平面平面，所以
又，所以，所以，故
故选：A
4．C
如图，正方体中，为线段的中点，连接，，
因为，，所以四边形是平行四边形，，
异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角，
设正方体的棱长为2，则，，
在中，，
，即是直角三角形，，
即异面直线与所成角的余弦值为.
5．
因为，，，所以，所以，
由平面，平面
得，
因为且平面，所以平面，
又平面，得.
于是将三棱锥放入正方体中，如下图：
三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半径为，
则，解得.
所以该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
6．BCD
对于A，若，，则或与相交，故A错误；
对于B，由，，，则，又，又，所以，故B正确；
对于C，因为，，则的方向向量分别为的法向量，
因为，所以，所以，故C正确；
对于D，由，，，则，又，，
所以，又，，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
7．ABD
对于选项A：因为侧面是正三角形，故A正确；
对于选项B：由题意可知：，，
则，可知.
设点A在底面的投影为，连接，
因为平面，平面，则，
且，，平面，则平面，
且平面，所以，
同理可得：，
可知四边形是边长为1的正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，则平面，
且平面，所以，故B正确；
对于选项C：因为，，
可知与底面所成角为，其正弦值为，故C错误；
对于选项D：设点到平面的距离为，
因为，则，解得，
所以点到平面的距离为，故D正确；
故选：ABD.
8．(1)
证明:连接，因为，所以四边形是平行四边形，
可得，又因为平面，平面，所以平面，
因为，所以四边形是平行四边形，
可得，又因为平面，平面，所以平面，
且，平面，
所以平面平面；
（2）因为，，
，可得是等边三角形，
所以，
，
设点A到平面的距离为，
由得，，
解得，所以点A到平面的距离为.

9．(1)取的中点为，连接，如下图所示：
在四边形中，，又// ，故四边形为平行四边形，故；
在三角形中，，又为中点，故，；
在三角形中，，故；
又面，故 面，又面，故面 面.
（2）因为，故 为上靠近 的三等分点，
过 作垂足为 ，过 作垂足为 ，连接，如下所示：
由（1）知，，又，故 //，又 面，故面，又面，
则，又，面，故面，又 面，故 ；
又面面，，面面，
故即为平面 与平面的夹角；
在三角形 中，因为 为上靠近 的三等分点，又// ，故；；
由（1）知，，故三角形为等边三角形，；
在三角形中，，又，故；
又面面，故，故三角形为直角三角形；
故.，故，
故平面 与平面的夹角的正弦值为.
10．(1)
∵，分别为棱，的中点，∴.
∵平面，平面，∴平面.
(2)
取的中点，连接，.
∵，分别为棱，的中点，∴.
∵平面，∴平面.∵平面，∴.
∵，分别为棱，的中点，∴.∵，∴.
∵，，平面，∴平面.
∵平面，∴.
（3）∵平面，平面，∴.
∵，，，平面，∴平面，
∴即为直线与平面所成的角，∴.
设，则，，.
如图，连接.易得平面和平面的交线为.过点作，交的延长线于点，连接.
∵平面，平面，平面，∴，.
∵，，，平面，∴平面.
又平面，∴，∴即为平面和平面所成的角.
过点作于点.
∵，，，∴与全等，∴.
由可得，∴.
∴，
即平面和平面所成的角的正切值为试卷第1页（共3页）
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答案第1页（共2页）
答案第1页（共2页）

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