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第四章：立体几何初步章末复习题型分类练习
学习目标：
1.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
2.借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
3.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．
4.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题．
5.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．
6.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题．
方法要点：
1.对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好空间几何体的直观图.
2.在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题.
3.直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”.这里的“线线”指的是一条直线和平面内的两条相交直线;“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面.判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可.
4.判定线面垂直的方法，主要有三种:①利用定义;②利用判定定理;③与平行关系联合运用，即若，且，则.
5.两平面相交成直二面角时，两平面垂直.作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础.同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它是每年高考重点考查的内容之一.
6.二面角的平面角必须具备三个条件:①角的顶点在二面角的棱上;②角的两边分别在二面角的两个半平面内;③角的两条边分别与二面角的棱垂直.准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键.作二面角的平面角通常有三种方法:①定义法，这里要注意角的顶点的恰当选取;②垂面法;③垂线法.当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出平面角.
7.面面垂直的判定方法有两种:一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角;二是利用面面垂直的判定定理.
8.转化思想是立体几何中最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.
典型例题：
题型一、空间几何体的结构特征
例题1：
1．如图在一个长方体的容器中，里面装有一些水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，判断下面的说法是否正确，并说明理由．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形；
(2)水的形状不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱锥．
变式1：
一、判断下列命题是否正确，并说明理由：
2．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( )
3．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( )
4．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面.( )
5．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．( )
题型二、斜二测画法下的计算问题
例题2：
6．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，求．
变式2：
7．如图所示，在中，，边上的高．
(1)画出水平放置的的直观图；
(2)求直观图的面积．
题型三、空间几何体的侧面积、表面积
例题3：
8．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底边上的高为，求这个三棱锥的表面积.
变式3：
9．一个正六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，求该六棱锥的侧面积.
题型四、空间几何体的体积问题
例题4：
10．如图，已知直三棱柱的体积为，，分别为棱，上的点，，，求四棱锥的体积．
变式4：
11．如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面，求三棱锥的体积.
题型五、与球有关的相切问题
例题5：
12．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，求该圆锥内半径最大的球的体积.
变式5：
13．在正方体中，三棱锥内切球的表面积为，求正方体外接球的体积.
题型六、与球有关的相接问题
例题6：
14．已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，求该球的表面积.
变式6：
15．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，求球的半径.
题型七、平面的基本性质
例题7：
16．空间四边形中，点分别在上，且．求证：四点共面．
变式7：
17．已知正方体中，与平面交于点，设与相交于点，求证：直线.
题型八、异面直线所成的角
例题8：
18．如图，在四面体中，，， 分别为 的中点
(1)求证：直线和为异面直线.
(2)求直线和所成角的大小.
变式8：
19．已知三棱锥满足，.
(1)证明：直线与直线是异面直线；
(2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
题型九、空间两条直线的位置关系
例题9：
20．已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，试判断与的位置关系.
变式9：
21．在正方体中，点分别在上，且，，判断与的位置关系．
题型十、直线、平面平行的判定与性质
例题10：
22．如图，已知点 P 是平行四边形 所在平面外的一点，E、F 分别是、上的点且 E、F 分别是、的中点．求证：平面．

变式10：
23．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)若平面平面，平面平面，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
题型十一、面面平行的判定与性质及平行的综合问题
例题11：
24．如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证：
(1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点
(2)平面平面.
变式11：
25．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、、分别为、、的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型十二、空间角及其应用
例题12：
26．如图，在正三棱柱中，⊥平面ABC，D、E分别为AC、的中点，.

(1)求异面直线DE与所成角的余弦值；
(2)求与平面夹角的余弦值.
变式12：
27．如图，已知平面平面，，，，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
题型十三、线面、面面垂直的判定与性质
例题13：
28．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．
(1)求证：CD⊥平面PBD．
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC．
变式13：
29．如图，在三棱柱中，与的距离为，，.
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若点N是棱的中点，求点N到平面的距离.
课堂检测：
30．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（ ）.
A． B． C． D．
31．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：
①若，，点，则l与m不共面；
②若m，l是异面直线，，，且，，则；
③若，，，则；
④若，，，，，则.
其中为假命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
32．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，在正方体中，下面结论不正确的是（ ）
A．平面 B．
C．平面平面 D．异面直线AD与所成的角为
34．如图，一张纸的长、宽分别为．分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得四点重合为一点，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是__________．（写出所有正确命题的序号）
①该多面体是三棱锥；
②平面平面；
③平面平面；
④该多面体外接球的表面积为
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
参考答案
1．(1)不对.水的形状就是用与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱锥.
(2)不对.水的形状就是用与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱锥.
2．错误
根据旋转体的定义，以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，若是直角三角形的斜边为轴所得的旋转体不是圆锥.
故答案：错误
3．错误
根据旋转体的定义知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台，
另一个腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台.
故答案为：错误.
4．错误
圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故错误.
5．错误
圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长.
故答案：错误
6．
由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形，
所以，边上的高为，
按“斜二测”画法如下图所示：
可得，，
在三角形中，，
由余弦定理得
.
7．(1)
(2)
（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①，
②画出对应的，轴，使，
在轴上取点，，使，，
在轴上取点，使，
连接，，则即为的直观图，如图②．
（2）在图②中，作，为垂足，
，，
，
．
8．
结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，
由题意是等腰直角三角形，则，，
则表面积为.
9．
如图，在正六棱锥中，是底面中心，则平面，
连接，取中点，连接.
根据正六边形性质，是等边三角形，
且底面积，
根据棱锥体积公式，，则，
又，在中，，
于是，
故棱锥的侧面积是.
10．
由题意，不妨设直三棱柱的高，
∵，，
∴，，
故，，
从而，即
∵
∵，从而，
∴．
11．
三棱柱的所有棱长均为1，
作于，则， ，
由于该几何体是三棱柱，所以平面，平面，
所以，又因为，又，平面，
所以平面，则是三棱锥的高，
所以.
12．
圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球.
下图为圆锥及其内切球的轴截面图，设球心为，球半径为，
则，，则，
所以.
设的周长为，则，
由等面积法可知，解得，
所以该圆锥内半径最大的球的体积为.
13．
设正方体的棱长为，则三棱锥为正四面体，且.
因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1.
设三棱锥内切球的球心为，到平面的距离为，
则，即，
所以，又，
所以，则，
又因为正方体外接球直径就是正方体体对角线长，
所以正方体外接球的半径为，
故该外接球的体积为.
14．
由正三棱台的上、下底面边长分别为和，则它们的高分别为和，
根据等边三角形的外接圆半径等于其高的，
则可设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，，
设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为，
若球心在正三棱台的外部，则，
变形得：，
平方可得：，解得；
若球心在正三棱台的内部，则，
变形得：，
平方可得：，故无解；
综上可得：球的表面积为.
15．
如图所示：把直三棱柱补形成一个长方体
则球的半径满足.
16．
∵，
所以，，得到，
所以四点共面.
17．
因为平面,且与平面交于点，
所以点是平面与平面的公共点，
因为平面平面,
所以直线.
18．(1)
由平面，故平面，
而平面，，又平面，
故平面，故直线和为异面直线；
（2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点，
所以，且，
故直线和所成角，即或其补角，
因为，故，因为，故，故，
所以直线和所成角为.
19．(1)证明如下：
因为直线平面，点平面，
点，点平面，所以直线与直线是异面直线．
（2）如图：取的中点，连接，，
因为为的中点，为的中点，
所以，，
所以异面直线与所成角（或其补角），
因为，所以，，
在中，，则，
所以，即，
在中由余弦定理得，
因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
20．平行或相交或异面
21．证明见解析
连接并延长，交于点，易得，
所以，所以为中点，
连接并延长，交于点，易得，
所以，所以为中点，所以，重合，
所以，所以.
22．
因为在平行四边形中，是的中点，
所以是的中点，
因为E是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
23．(1)
令，连，如图，
四边形ABCD是正方形，即O是AC中点，而M是矩形ACEF边EF的中点，
则有，且，于是得四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面.
(2)
，证明如下：
由（1）知，平面，又平面，平面平面，
因此，，平面，
又平面，平面平面，因此，，
所以.
24．(1)
分别是的中点，
是的中位线，，且
又在三棱柱中，，且，
由平行的传递性，，且，
四点共面；
由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线，
设，下证，
平面，且平面，
平面，且平面，
平面平面，
，即三线共点.
(2)
分别为的中点，，
平面平面，
平面，
在三棱柱中，，且，
，且，
四边形是平行四边形，，
平面平面，
平面，
，平面，
平面平面.
25．（1）证明:
∵是平行四边形，、、分别为、、的中点，
∴，，
又平面，平面，平面，平面，
∴平面，平面，
∵，且、平面，
∴平面平面.
（2）存在点是线段的中点，使得平面，且.证明如下：
取中点，连接、，
∵、、分别是、、的中点，∴，且，即，
∴，∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面，且.
26．（1）证明：∵点D、E分别为AC、的中点，
∴为三角形的中位线，即，
为异面直线DE与所成角或补角，
在中，，，，
.
异面直线DE与所成角的余弦值.
（2）过点作的垂线，垂足为F，连结，
是正三棱柱，是正三角形，为的中点.

平面平面，且平面平面，平面
，所以平面，
所以为在平面的射影，即为所求角，
，，，
所以，
即与平面夹角的余弦值.
27．（1）
如图，过点作交于点，连结．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，因平面，则，
又因平面，故平面，
又平面，则平面平面．
过点作交于点，则平面，连结，
则即为直线与平面所成的角．
设，则．
因为，由余弦定理，，
故，从而．
又因为，所以，
所以，则．
又平面，因平面，则
所以，故，
所以．
（2）
如图，过点作交于点，连结．
由（1）可知，平面，平面，
故，又平面，所以平面，
因平面，故，又平面，
所以平面，因平面，故，
则即为二面角的平面角．
因，则，
故，所以．
28．(1)在平面四边形ABCD中，AD=AB，∠BAD=90°，则∠ABD=∠ADB=45°，
又AD∥BC，即有∠DBC=45°，而∠DCB=45°，于是得∠BDC=90°，
在折后的几何体PBCD中，BD⊥DC，因平面PBD⊥平面BCD，平面PBD平面BCD=BD，CD平面BCD，
所以CD⊥平面PBD；
(2)由(1)知CD⊥平面PBD，PB平面PBD，于是得CD⊥BP，
又BP⊥PD，PDCD=D，PD平面PDC，CD平面PDC，则BP⊥平面PDC，又BP平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PDC.
29．(1)取棱中点D，连接BD，
因为，所以
因为三棱柱，所以
所以，所以
因为，所以，；
因为，，
所以，
所以，
同理，
因为，且，平面，所以平面，
因为平面ABC，所以平面平面ABC；
（2）过作，垂足为，连结，
由（1）可知平面平面，且平面平面，
所以平面，平面，则，
有（1）可知，是等边三角形，可得，，，
中，，，，
，则
可得的面积为，
又
设N 到面的距离为h，则，
可得
【点睛】
30．B
以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，
由圆柱的体积公式得：，
所以所得到的几何体的体积为.
故选：B
31．C
对于①则与异面,故①正确;
对于②，若m，l是异面直线，，，则在内存在,由，,可知，,利用线面垂直的判断定理有,故②正确;
对于③，,,,则直线的位置关系可能平行、相交或者异面;故③错误;
对于④, ,,,,,则,由面面平行的判定定理可知④正确.
故选:C.
32．B
解：如下图所示，为的中点
因为平面，且平面平面
所以为与平面所成角
因为底面是边长为的正三角形
所以
所以三棱柱的体积为：
所以
又因为点为底面的中心
所以
所以在直角三角形中，
所以
故选：B.
33．D
对于A，为正方体，，
由线面平行的判定可得面，A正确；
对于B，为正方体，，且，
由线面垂直的判定可得面，，B正确；
对于C，由上可知面，又，面，
则平面平面，C正确；
对于D，异面直线AD与所成的角即为直线BC与所成的角，为，D错误.
故选：D
34．①②③④
由题意得，PB⊥PA,PB⊥PC,PA∩PC=C,
∴PA⊥平面PAC,
同理PD⊥平面PAC,
∴PA,PD共线，
∴该多面体是三棱锥，故①正确；
由①知，BD⊥平面PAC,
∴∠APC为二面角A-BD-C的平面角，
由于AP=PC=,AC=2a,
,
∴∠APC为直角，
∴平面BAD⊥平面BCD,
故②正确；
取AC中点M,连接MB,MD,
则MB⊥AC,MD⊥AC，
∴∠BMD为二面角B-AC-D的平面角，
∵BD=PB+PD=2a,BM=DM=
,
∴∠BMD为直角，
∴平面BAC⊥平面ACD,
故③正确；
如图，取底面ACD和侧面ACB的外接圆的圆心分别为,外接球的球心为O.
则分别为O在平面ACD和ACB的射影，
,
,
,
多面体外接球的半径为，
则该多面体外接球的表面积为，
故④正确,
故答案为①②③④.
答案第1页（共2页）
答案第1页（共2页）

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