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2026-2027学年广西来宾高级中学高三（上）阶段性检测
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若有一组数据为、、、、、、、，则该组数据的中位数为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量，则下列结论不成立的是( )
A. 越小，则的测量结果在内的概率越大
B. 的测量值大于的概率为
C. 的测量结果大于的概率与小于的概率相等
D. 的测量结果落在内的概率与落在内的概率相等
4.如图：在平行六面体中，为，的交点若，，，则向量( )
A.
B.
C.
D.
5.书架上有本语文书，本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图斜二测画法为，其中，则此三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
7.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，则不同的抽样结果共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国篮球职业联赛中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列四个命题中为假命题的是( )
A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面
C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积
11.一棱长等于且体积为的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据：，，，，，，，，，，第百分位数为，则 ．
13.的展开式的第项的系数为 结果用数值表示．
14.已知，，，，则异面直线与之间的距离是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点求证：
平面；
平面平面．
16.本小题分
某校科技节进行答题竞赛，满分分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示：
求的值；
以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；
若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的名同学中不放回抽取份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，．
求证：平面平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．
证明：平面；
求直线与平面夹角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得它到平面的距离为？请说明理由．
19.本小题分
甲、乙、丙三位主播进行连麦直播流量从甲主播开始每次流量更新时，当前持有流量的主播会随机等可能将流量推送给另外两位主播中的一位．
求次推送后，流量在乙主播手中的概率；
设次推送后流量在甲手中的概率为．
(ⅰ)证明：是等比数列，并求；
(ⅱ)求次推送后，流量在乙主播手中的概率的表达式．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 证明过程见解析．
16.【答案】

17.【答案】证明：因为平面平面，且平面平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：由知，平面，
所以，，
由正方形，知，
故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，
设平面的法向量为，则，
取，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.【答案】证明：在中，，为中点，
所以，
又侧面底面，平面平面，平面，
所以平面．
解：连接，
因为，
所以四边形为平行四边形，
又，所以，
由知平面，
故以为坐标原点，以分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，所以，
设直线与平面的夹角为，
则，
即直线与平面夹角的正弦值为．
解：存在点，且，使得到平面的距离为，理由如下：
由知，
令，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，所以，
因为点到平面的距离为，
所以，
又，所以，
故存在点，且，使得到平面的距离为．
19.【答案】解：由题意知，流量从甲主播开始，每次推送，主播只能把流量等可能推送给另外两人，
所以推送每个人的概率为，即第一次：甲乙或甲丙，且概率均为，
当时，流量在乙主播手中，可分为三种情况：
甲乙甲乙，其概率为；
甲乙丙乙，其概率为；
甲丙甲乙，其概率为；
所以其概率为．
证明：由次推送后流量在甲手中的概率为，
若第次流量在甲手里，则第次一定推送给乙或丙；
若第次流量不在甲手里，则第次中持有者有的概率推送给甲，
所以不在甲手中的概率为，所以递推关系式为，
即，可得，
易知，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，所以；
由题意知，每次推送，主播只能把流量等可能推送给另外两人，
所以乙和丙被推送的概率完全相同，可得，
设流量在丙主播手中的概率为，可得，即，
所以，
所以．
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