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2026-2027学年重庆市某校高三（上）阶段检测数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D. ，
2.“四边形是等腰梯形”是“四边形的对角线相等”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知与是关于的方程的两个实数根，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.若函数在上单调，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
8.某采气井到道路视为直线的垂直距离为，垂足为，道路上距离点处建有标准化集气中转站，现拟在道路段上选取阀室点位管道检修截断设施已知跨沟渠管沟直线段单位造价是道路管沟直线段单位造价的倍若要使管线的总造价最低，则与之间的距离应为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是存在量词命题的是( )
A. ， B. 存在一个数的平方不大于
C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 在到之间至少有个质数
10.已知函数的部分图象如图所示，若的面积为，则( )
A.
B.
C. 为奇函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象
11.设是定义在上的可导函数，且记若对任意，恒成立，则( )
A.
B.
C.
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则 ．
13.若函数无极值，则的取值范围为 ．
14.若，则以曲线与曲线相邻四个交点为顶点的菱形的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，，求．
16.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
证明：当时，．
17.本小题分
已知函数．
求的定义域；
若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，
求的值；
证明：的图象关于直线对称；
求在上的零点个数．
19.本小题分
对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值．
若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一；
已知函数，证明：恰有个俏值；
若函数，求的最大值与俏值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由正弦定理得，
又，，所以，则，
因为，所以；
在中，由正弦定理，
得，解得，
由余弦定理，得，
即，，
解得或舍去，故．
16.【答案】解：由题意得，
令，得，解得，
所以的单调递增区间为；
证明：令，
则令，
则，
所以在上单调递增，
因为，所以当时，，则，
所以在上单调递增，
因为，所以当时，，
故当时，．
17.【答案】解：因为，，
所以，，
因为，，
所以，
所以的定义域为；
，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
依题意可得，
当时，，
则满足题意；
当时，，
则，又，
所以，
综上，的取值范围为．
18.【答案】解：因为，，
所以．
证明：因为，
所以，故的图象关于直线对称．
当时，令，则，，
则，
因为，所以，所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因为，，，
所以在内有唯一零点，在内有唯一零点，
所以在内有两个零点，即在内有两个零点，，且，，
由得的图象关于直线对称，所以在内有两个零点，，
且，，故在上的零点个数为．
19.【答案】解：证明：在上单调递减，所以在上的最小值为．
当时，，故为俏函数，是其俏值．
当正整数时，，不满足俏值条件，
因此的俏值唯一，为．
证明：的定义域为，且．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
因此在处取得最小值，且，
每个正整数都满足，故在上的最小值均为，
由俏值的定义，恰有，使该最小值大于，所以恰有个俏值．
令，，则，
令．
取时，故的最大值为，即的最大值为．
由于在上单调递减、在上单调递增，
当时，，因而，此时无最小值，即在上无最小值；
当时，因而，此时无最小值，即在上无最小值；
当时，因而，此时无最小值，即在上无最小值；
当时，，故，且仅在时取到．
所以当时，取得最小值，最小值为，
即在上的最小值为，所以是俏值．
当正整数时，且，故不是俏值．
综上，的俏值为．
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