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2026-2027学年重庆市杨家坪中学高三（上）第二次质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了九章算术古今数学思想数学原理世界数学通史算术研究五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.若，，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
6.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
7.世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点与水平面平行开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点为圆的最低点开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 若变量，具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是
C. 若，，，则事件与事件相互独立
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
10.年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是偶函数
C. 的图象关于点对称
D. 若在上有且仅有两个极值点，则
11.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，函数有个零点
B. 当时，若函数有三个零点，，，则
C. 若函数恰有个零点，则
D. 若存在实数使得函数有个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知角的终边上一点，则 ．
14.已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的内角，，的对边，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
四棱锥中，底面，，，且，，是的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究学生上课是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取名学生进行调查，其中上课转笔的有人经调查，得到这名学生近期考试的成绩分数均在内的频率分布直方图如图所示分组区间为，，，，记总成绩不低于分的为优秀，其余为合格．
成绩 转笔 合计
上课转笔 上课不转笔
合格
优秀
合计
请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩是否优秀与上课是否转笔有关联单位：人
现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这人中抽取人，再从这人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中成绩合格的人数为，求的分布列和均值；
若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取人进行调查，记人中上课转笔的人数为，求的均值和方差．
附：参考公式：，其中．
参考数据：
18.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
已知，，过点的直线与交于，两点不在轴上求证：．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，正实数，满足，证明：；
设，若对任意的恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】解：证明：取中点，连接，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则，
因为，所以，
因为，为的中点，所以，
由勾股定理可得，
同理可得，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，
所以平面．
因为平面，，
如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
令，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
17.【答案】列联表见解析，能；
分布列见解析，；
，．
18.【答案】解：由，可得，
由点在上，则，
联立解得：，，
所以椭圆的方程为；
证明：如图，设过点的直线的方程为，，，
由，得，，
所以，，
因直线，的斜率分别为，
因为
，
则，的倾斜角互为补角，故．
19.【答案】解：因为，所以，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：当时，，
令，则，
所以在上单调递增，
又，因为，所以，
若，都大于，则，不合题意，
同理，都小于也不满足，
设，欲证，即证，即证，
即证，即证
令，，
，
所以在区间上单调递增，所以，则原不等式得证．
因为，，
若对任意的恒成立，则，解得．
下面证明：时符合题意．
当时，，
以下证明：，
令，
则，
令，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
综上，的取值范围是．
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