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2026-2027学年江西省南昌中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，，则公比( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知点，，线段为的一条直径设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则( )
A. B. C. D.
8.数列中，数列是首项为，公比为的等比数列，设数列的前项积为，数列的前项积为，的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B. 设有一个线性回归方程，变量增加个单位时，平均增加个单位
C. 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越弱
D. 数据，，，，，，，，，的第百分位数为
10.在棱长为的正方体中，点是线段含端点上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若点在正方形内含边界，且，则点的轨迹长为
C. 三棱锥的体积的最大值为
D. 存在点，使得异面直线与所成的角为
11.已知是上的连续函数，满足，有，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 为偶函数
C. 的一个周期为 D. 是的一个对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中的常数项为 ．
13.已知平面向量与满足，且在方向上的投影向量为若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.设非空集合，满足，，当时，，当时，，若为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
求和的值；
已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
16.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过的直线与交于，两点．
求的方程；
若，均在的右支上，且的周长为，求的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且为正三角形，，分别为，的中点，．
证明：平面．
若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
一批零件共件，其中有件次品，质检人员不放回逐一抽取检验，直到把所有次品全部检出停止检验设检验停止时一共抽取了件零件记为第件被抽检零件是次品的概率，表示第件恰好是最后一件次品的概率．
当，时，求；
求和；
求，，．
19.本小题分
已知函数．
若，求函数在上的最值；
已知函数有两个不同的零点，．
求实数的取值范围；
(ⅱ)若，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：将，代入函数得，
，．
由已知周期，且，
点，是的中点，，
点的坐标为
又点在的图象上，且，
，，
从而得，或，
解得或．
16.【答案】解：因为，
所以，所以，
又，所以，
所以双曲线的方程为：；
因为，均在的右支上，且的周长为，
所以，
，
所以．
因为，设直线：，代入得：，
整理得：．
设，，
因为，均在的右支上，所以，且，所以，
，
所以，
所以，
所以，
所以直线的方程为：，即．
17.【答案】证明：设的中点为，连接，．
，．
又为的重心，，，．
又平面，平面，
平面．

18.【答案】解：事件“第件恰好是最后一件次品”等价于次品在第次被抽到．
第件抽到正品，第件抽到次品；
不放回抽样：每次抽到次品的概率相等，，共件，；
求，即满足在前次共抽到个次品，第次抽到第个次品，的取值范围为．
，；
当时，，
所以．
不放回抽样：每次抽到次品的概率相等，；
求，即满足在前次共抽到个次品，第次抽到第个次品，的取值范围为．
，；
，，
所以，
．
19.【答案】解：若，则，，
令，令，
所以在单调递增，在单调递减，
从而在单调递增，在单调递减，
则，
又，所以．
令，
令，则，
令，令，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
又知当时，恒成立，且，
故有两个不同的零点，得到方程有两个不等正根，
则直线与的图象有两个交点．
故，即．
根据，不妨设，
则由，
，
令，则，
再令，则在单调递减，
所以，，即在单调递减，
又，即，
则在单调递减，即，
即，即，
又由式知，
根据在单调递增，且，
所以．
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