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2026-2027学年天津市双菱中学高三（上）第一次阶段检测
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，在正方体中，给出以下四个结论：
平面
与平面相交
平面
平面平面
正确的结论个数是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，且恒过定点，则在直角坐标系中函数的图象为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列、的前项和分别为、，且，则( )
A. B. ． C. D. ．
6.已知函数，设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.已知定义域为的奇函数，则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量，满足，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.函数的部分图象如图所示，则以下说法正确个数为( )
函数图象的对称中心为
不等式的解集为
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，复数 ．
11.二项式的展开式中的常数项为 ．
12.中，角，，的对边分别为，，，，，则 ．
13.已知甲盒产品中有个正品和个次品，乙盒中有个正品和个次品．其中正确结论的序号是 ．
若从甲盒中任取个产品，这个产品均为正品的概率为
若从甲盒中任取个产品，这个产品一个为正品一个为次品的概率为
若从甲盒中任取个产品，这个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为
若从甲盒中任取个产品，乙盒中取个产品，则取到次品个数的期望为
若先从甲盒中任取个产品，将这个产品放入乙盒，然后从乙盒任取个产品，则取出的是正品的概率为
14.已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ．
15.若存在常数，使得函数对任意实数都有成立，且等号能取到，则称为的下托函数以下说法正确的有 ．
函数没有下托函数；
函数有下托函数；
函数有下托函数；
函数的图象与轴有交点．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
若角的终边与单位圆交于点，求的值；
当时，求的单调递增区间和值域．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．
求证：平面；
若．
求平面与平面夹角的正弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值；
求数列的前项的和．
19.本小题分
已知函数．
若，，证明：；
若，且对任意，，求的取值范围；
若在上单调递增，求的最大值．
20.本小题分
已知函数．
当时，讨论在上的单调性；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
若，是的两个零点，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】解：角的终边与单位圆交于点，
，
；
由；
由，
得，，
又，所以的单调递增区间是；
，
，
，
故得的值域是．
17.【答案】证明：取中点，因为为中点，
所以，且，
又因为，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，即，
因为平面，平面，
所以平面 存在，
18.【答案】 ，
19.【答案】解：证明：当，时，，．
令，得．
当时，，是单调递减函数；
当时，，是单调递增函数．
则，即；
当时，，易得，
，，
当时，结合易得，
所以在上是单调递增函数，
所以，符合题意．
当时，令，．
因为，所以递增．
又，由得，将换作可得，即，
所以，
所以存在唯一的，使得．
当时，，单调递减，则，不合题意．
综上，实数的取值范围为．
若在上单调递增，则恒成立．
令，则．
当时，，故在上单调递增．
，则，不合题意．
当时，恒成立，所以，此时的最大值为．
当时，由，得．
当时，，递减；
当时，，递增．
所以，
得，此处不等号可以取等．
所以．
令，，则．
令，得．
当时，，递增；
当时，，递减．
所以．
综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为．
20.【答案】解：因为，所以，
令，则，因为，
所以当时，单调递增；当时，单调递减，
故，即，
故在上单调递减．
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，因为时，
故对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减．
又，且，
故，故．
令，则，
故，故．
综上，的取值范围为
证明：，即，不妨设，
则，整理得，
要证，即证，即证，
即证在上单调递增，
又，令，
则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
故，即，，即在上单调递增，
故．
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