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专题2.6　二次函数与幂函数
1.下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】对幂函数的定义掌握不牢固，未能准确识别幂函数特征.
【解析导引】
由题意，
（易错提示：需要严格依据幂函数的定义，把握幂函数的三个核心特征判断）
A项，，函数前面系数不为1，故A错误；
B项，，故B正确；
C项，，函数前面系数不为1，故C错误；
D项，，幂函数应为形式，故D错误.
故选：B.
【补救措施】对于幂函数问题，要把握住幂函数的定义，掌握幂函数的特征：同时满足以下三个条件才是幂函数：①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
2.（2026届河南南阳模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断函数是否是幂函数
【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断.
【详解】若函数为幂函数，则，解得，
所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A
3.已知幂函数，若，则的取值范围为________.
【错因解读】对幂函数的定义域重视不足，研究幂函数性质（如单调性）时，忽略定义域对自变量取值范围的限制.
【解析导引】
（易错提示：注意首先对幂函数化简并确定定义域）
∵，由分母不为0且根号下非负，得定义域为，且在上是减函数，
∴
解得.
故答案为：
【补救措施】在研究幂函数问题时，应首先考虑定义域，要时刻注意自变量在定义域内．
4.下列函数定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、求幂函数的定义域
【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断.
【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误；
对于B：，所以函数的定义域为，故B正确；
对于C：，所以函数的定义域为，故C错误；
对于D：，所以函数的定义域为，故D错误.
故选：B
5.（2026届湖北随州曾都一高高三下期月考）设，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【错因解读】比较幂函数大小时，未先统一形式或直接套用错误的单调性.
【解析导引】
（易错提示1：注意化简，识别出幂函数模型，统一形式）
，
（易错提示2：根据幂函数模型，此时可根据单调性比较的大小）
由幂函数在上单调递增，得，即；
由指数函数在上是单调递减，得，即；
.
【补救措施】比较幂函数的大小时，遵循以下步骤：先识别函数类型，然后统一形式，利用单调性进行判断比较.
6.（2026届四川宜宾一模）已知，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小.
【详解】设，因为，所以.
所以， ， .
因为，所以，，故；
而，所以，，
因为函数在时单调递减，且，所以，即.
综上，.
7.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【错因解读】对函数奇偶性的代数定义与幂函数单调性的判定法则掌握不牢.
【解析导引】
（易错提示：注意结合奇偶性与单调性以及幂函数定义来判断）
对于A，函数的定义域为R，但不是奇函数，A不是；
对于B，函数是R上的偶函数，B不是；
对于C，幂函数在上单调递减，C不是；
对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是.
故选：D
【补救措施】
1.幂函数具有单调性和奇偶性，在求解相关问题时，需要利用好幂函数的相关性质进行求解.
2.幂函数的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响．
（1）当时，幂函数是奇函数；（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数．
8.（2026届重庆康德高三下期3月调研）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数为增函数
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、幂函数的奇偶性的应用
【详解】对于A，设幂函数（为实数），
其图像经过点，，解得，
，其定义域为，不关于原点对称，
则函数不为奇函数，故A错误，
对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确；
对于C，D，如图，作出符合题意的图形，
则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的，
都有成立，故C正确，D错误.
9.（2026届山东实验中学科创班高三上期开学测试）二次函数过点，且对任意实数都有，则（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】对二次函数解析式的求法理解不到位，未能正确选择方法.
【解析导引】
当时，、，
故有，则过点，且在处的切线为，
则可设二次函数，
，有，故，
则，
此时，
，符合要求.
故选：C.
【补救措施】已知三点坐标时通常选用一般式，已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值时宜选用顶点式，已知与轴两交点坐标时适合选用零点式.
10.（2026届江苏连云港部分学校高三上期10月月考）写出一个过点，且在上单调的二次函数：__________.
【答案】.（答案不唯一）
【知识点】求二次函数的解析式
【分析】由二次函数的性质结合题意可得.
【详解】函数可为，
对称轴为，开口向上，且点在函数图象上.
故答案为：.（答案不唯一）
11.（2026届重庆区县联盟学校高三上期期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（错因：对幂函数性质应用出错）
【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数
【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解.
【详解】因为幂函数是奇函数，是偶函数排除C，
是非奇非偶函数，排除B、
又幂函数在上单调递减，所以为负数，排除D选项，
幂函数是奇函数，且在上单调递减，所以A正确.
故选：A
12.（2026届浙江绍兴上虞高三上期期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
（错因：比较幂函数大小出错）
【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、由幂函数的单调性比较大小
【分析】对两边同时取以为底的对数，可判断，，根据函数在上单调递增，可得，故可得答案.
【详解】因为，，
则，，
则，
又函数是增函数，则，
，
因为，则函数在上单调递增，
又，则，即，
则.
故选：C.
13.（2026届河北武邑中学高三下期阶段检测）下列函数中，对定义域内任意正实数（），均满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
（错因：忽视幂函数的定义域）
【知识点】求指数（型)函数的定义域、求幂函数的定义域、比较对数式的大小
【分析】首先要说明各函数的定义域，通过作差比较法或特殊值法可逐项判断.
【详解】对于A：函数的定义域为，
取，则，，
不满足题设不等式，故A错误；
对于B：函数的定义域为，
则，
当时，，
(也可以取特殊值，取，则），
不满足题设不等式，故B错误；
对于C：函数的定义域为，而是非零实数，
所以对任意正实数（），不等式
，
恒满足题设，故C正确；
对于D：函数的定义域为，取，
，，
因为，所以此时，不满足题设不等式，故D错误.
14.（2026届江苏苏州、南京九校高三上期一轮）定义在上的单调函数满足：、，，且，则（ ）
A． B．记，则为幂函数
C． D．
【答案】ABD
（错因：不清楚幂函数的定义）
【知识点】求函数值、判断函数是否是幂函数、利用导数证明不等式、数列不等式恒成立问题
【分析】令，，可求出的值，可判断A选项；推导出，结合，可判断B选项；放缩得出，可判断C选项；当时证明出，可得出，结合不等式的基本性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，令，可得，
所以，即，解得，A对；
对于B选项，在等式中，
令，则有，即，
因为函数在上单调，且，，
所以函数在上单调递增，故，所以，
令，则，
故，
由，
可得
，
整理可得，
令，，所以，
又因为，，且，
所以函数的图象恒过定点、，
所以函数为幂函数，B对；
对于C选项，设，因为，故，
所以，故，
所以，
所以，
对任意的，，
所以
，C错；
对于D选项，，，
令，其中，其中，
所以函数在上为减函数，
故当时，，即，
所以，故，
所以，D对.
故选：ABD.
15.（2026届安徽省高三名校名师测评卷）已知函数是二次函数，其函数图象过点，且在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数满足，且在区间上的值域为，求m、n的值.
（错因：不能正确使用方法求二次函数解析式）
【知识点】求二次函数的解析式、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】（1）利用待定系数法设出方程，根据条件列出等量关系，求解系数即可；
（2）根据对称轴和区间的位置关系，分情况讨论，得出方程组，求解可得答案.
【详解】（1）设函数，又函数在y轴上的截距为1，
则，函数图象过点，所以，
设的两根为，，由在轴上截得的线段长为得：
，所以，
将代入解得：或，
所以或；
（2）因为函数满足，所以，
当时，在区间上单调递增，
所以，，即，
所以m、n是方程的两个不同实根，而方程的两根异号，不合题意；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，且，
由，得，
于是，而，
所以，即，所以，解得，
此时，，，
当时，在区间上单调递减，所以，，
即，此方程组无实数解，
综上，，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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