资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 高数
专题2.8 对数与对数函数
1.已知函数（，且）(a>0，且a≠1)，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是__________．
【错因解读】对数和对数函数的定义理解不清
【解析导引】
当时，在上是减函数，由在区间上恒成立，
知，且，解得.
（易错提示1：容易忽略时的情况）
当时，在上是增函数，由在区间上恒成立，
知，且.解得，且，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
【补救措施】因不熟悉对数和对数函数的定义，未对底数进行分类讨论.对数函数的符号常受到底数和真数范围的制约，注意对底数a的讨论．
（1）当时，图象越接近x轴，底数a越大；
（2）当时，图象越接近x轴，底数a越小．
2.使对数式有意义的a的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】ACD
【知识点】对数的概念判断与求值
【详解】要使有意义，则解得或．
3.已知函数是对数函数，则__________．
【错因解读】忽视对数和对数函数的定义域，无论什么时候都要满足真数大于0
【解析导引】
已知函数是对数函数，则，且，，
解方程得，
（易错提示1：容易忽略对数函数成立的前提条件，且）
，且，
，
，故，
．
故答案为：．
【补救措施】错解中忽视了换元后新元的取值范围，在研究对数函数问题时，应首先考虑定义域，并始终考虑变量的范围．
4.若函数定义域为，则a的取值范围是________.
【答案】
【知识点】求对数函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解.
【详解】对一切实数均成立，
所以当时，显然成立；
当时，，
解得；
故的取值范围为.
故答案为：
5.已知，则的大小顺序为__________.
【错因解读】对对数函数的单调性的概念理解不清，导致对数化简出错
【解析导引】
（易错提示1：无法直接比较时需要引入中间值）
因为，
又，
而，则，则，
所以，.
故答案为：.
【补救措施】本例题因为对对数的化简不熟悉，忽视引入中间值，造成出错.
6.已知，，，比较a，b，c的大小关系：________．
【答案】
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小.
【详解】由，，，
所以，
故答案为：
7.已知的值域为，那么的取值范围是______.
【错因解读】在求解不等式时对单调性理解不透彻导致出错
【解析导引】
当，则，
设在内的值域为，
因为的值域为，
（易错提示1：容易忽略分段函数的单调性）
则，当时，，不符合题意，
显然不合题意，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【补救措施】对数函数单调性的使用错误，是导致本例题出错的重要原因.在求解对数不等式时，要把握住对数的定义域和单调性，在定义域内结合对数函数的单调性进行求解：当底数在时，对数随着自变量的增加而减小；当底数在时，对数随着自变量的增加而增大.
8.设函数，若满足，则的解集为__________；若满足，则的解集为__________.
【答案】
【知识点】解分段函数不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】由函数解析式可得函数的单调性，利用分段函数性质，分情况化简不等式，可得答案.
【详解】当时，，易知函数在上单调递减，则；
当时，，易知函数在上单调递增，则.
由不等式在上有解，则不等式化简可得，解得，即所求解集为.
令，不等式等价于，
当时，不等式化简可得，解得；
当时，不等式化简可得，解得.
综上可得，即，
当时，不等式化简可得，解得；
当时，不等式化简可得，解得.
综上可得不等式的解集为.
故答案为：；.
9.若函数定义域为，则a的取值范围是________.
【错因解读】复合函数换元后因未考虑换元后的自变量范围导致出错
【解析导引】
由题意，在中，
设，
（易错提示1：注意复合函数内部函数的范围）
则对一切实数均成立，
所以当时，显然成立；
当时，，
解得；
故的取值范围为.
故答案为：
【补救措施】本例题错误在于使用换元法时没有及时求解换元后的自变量范围.在复合函数问题中，使用换元法换元后，要求解换元后的范围.
10.（2027届天津南开新高三期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数
【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可.
【详解】令，则函数可看成由
与复合而成，
因为对数的底数且，所以是单调递减函数，
又因为函数在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到，
又在区间上，作为的真数要大于0恒成立，
所以，所以，
综上所述实数的取值范围为.
11.．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
（错因：遗漏了对底数或真数的讨论）
【知识点】对数的概念判断与求值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】对任意的，代数式有意义，
则对任意的，且，
当时，则且，解得且，不合乎题意；
当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知，
对任意的，，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
12.（2027届天津南开新高三期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．
【答案】
（错因：未考虑底数的定义域）
【知识点】根据函数的单调性求参数值、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数
【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可.
【详解】令，则函数可看成由
与复合而成，
因为对数的底数且，所以是单调递减函数，
又因为函数在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到，
又在区间上，作为的真数要大于0恒成立，
所以，所以，
综上所述实数的取值范围为.
13．设，则的大小关系为___________.（从小到大顺序排）
【答案】
（错因：忘记引入中间值来比较）
【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小
【分析】方法一：构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法
记，则，当时，，故在上单调递增，故，故，
记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此．
故答案为：
[方法二]：泰勒公式放缩
，由函数切线放缩得，因此.
故答案为：
【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．
【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．
14．已知函数，则___________．
【答案】
（错因：未明确函数单调性）
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值、求对数函数在区间上的值域
【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可.
【详解】因为，则，
且，
所以
故答案为：.
15．若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
（错因：遗漏新元范围）
【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值、由函数对称性求函数值或参数
【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意，，其图象关于直线对称，
则，
所以，所以，解得，
所以，此时，满足题意；
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，故选B．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑