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专题2.7　指数与指数函数
1.化简：，得_______．
【错因解读】进行指数运算时，使用应用条件与结构规则过于死板、机械导致出错.
【解析导引】
由，
（易错提示：注意第一时间写出隐藏条件即）
可知，即，
∴．
【补救措施】题目中含有，在解答过程中很多同学不能深入理解，没有考虑这个前提条件，即，导致出现了这个错误结果；对于，当n为奇数，m为偶数时，应考虑“”这个隐含条件．另外，指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.
2.（2026届湖南长沙三模）若为指数函数，且，则______
【答案】
【知识点】求指数函数解析式、求等比数列前n项和
【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，再利用等比数列求和公式求解.
【详解】为指数函数，可设且，
，解得：，，
则
.
3.若函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（　 ）
A． B． C． D．
【错因解读】求解时忽视对底数的讨论导致出错.
【解析导引】
【答案】C，
根据复合函数的单调性可知，
（易错提示：注意对底数进行分类讨论再求解）
当时，在上单调递增，在上单调递减，
因为函数在上单调递增，所以，无解﹔
当时，在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得：.
所以的取值范围为（1，4]．
【补救措施】在底数未知的指数函数中，在求解前要重视对底数的分类讨论.
4.已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围
【详解】①当时，作出函数的图像如图（1）．
若直线与函数的图像有两个交点，
则由图像可知，所以．
②当时，作出函数的图像如图（2），
若直线与函数的图像有两个交点，
则由图像可知，此时无解．
所以实数的取值范围是．
5.（2026届安徽模拟预测）已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】比较指数幂大小时，没有通过中间值做桥梁正确求解.
【解析导引】
构造函数，由换底公式，，
所以，
再令，，
当时，，单调递增，
所以当时，，即在有，
所以在上单调递减，
（易错提示：注意将1转化，快速求解）
又，，
由对数函数的单调性得，，
所以，所以.
【补救措施】同底比单调性，不能化成同底数的，一般引入0、1等中间量比较大小.
6.（2026届重庆模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【详解】对数函数在定义域上单调递减，
由于，因此，即；
对数函数在定义域上单调递增，
由于，因此，即；
指数函数在定义域R上单调递减，由，因此，
综上可得.
7.（2026届河北模拟预测）称不等式的解集为函数的“大于点集”，则函数的“大于点集”为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【错因解读】不熟悉指数函数性质造成不等式求解过程中出现问题.
【解析导引】
当时，，由，可得，即，
因为在上单调递减，所以，解得，
故此时；
当时，，由，可得，即，
因为在上单调递增，所以，解得或，
（易错提示：注意原定义域，合理舍去）
故此时，
综上可得，函数的“大于点集”为或.
【补救措施】当底数时，指数的大小关系与整体的大小关系相反；利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
8.（2026届河北邢台三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式
【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时.
当时，为单调递增函数，也为单调递增函数，
∴ 在上单调递增，且.
∴ 函数是定义域为的单调递增函数.
令，当时，有.
设（），则，整理得.
解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去.
∴ ，即.
∵ 在上单调递增，
∴ 等价于，解得.
∴ 实数的取值范围为，故选A.
9.已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【错因解读】换元后端点开闭区间误判，单调性应用不彻底.
【解析导引】
令，则，
（易错提示：注意换元前的单调性与单调区间）
因为在上单调递增，
所以，
又单调递减，且，
所以，即的值域是.
故选：B.
【补救措施】自变量的取值范围是影响函数的重要因素，在复合函数中，采用换元法时需要计算换元后的新自变量的取值范围.
10.（2026届云南玉溪模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据对数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围．
【详解】根据解析式知的图象如图所示：
由题意，有4个不相等的实数根，
设，结合图象可知有两个不等实根，
设此关于方程的解为、，其中均不为零且．
由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，，
故不能都大于2，不能都小于等于1，
故（舍）或或（舍）．
令，其开口向上，
需满足，即，解得.
11．已知指数函数的图象经过点，则______．
【答案】8
（错因：指数运算时过于机械化）
【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式
【分析】利用待定系数法求出指数函数的解析式，继而求值即可.
【详解】设（且）．
则．解得，所以，
所以.
故答案为：8.
12.（2026届江西赣州一模）若函数且为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
（错因：忽略对指数函数中底数的讨论）
【知识点】求指数函数解析式、由奇偶性求参数
【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可.
【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以，
因为，，所以，可得，
又因为且，解得，此时，
因为，
故当时，函数为偶函数，故.
13.（2026届天津滨海新区三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
（错因：比较指数幂的大小时忽略中间值）
【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系．
【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数，
所以为上的单调递增函数，
计算得，，
由零点存在性定理可得方程得解，
由，得，所以，
又为上的单调递减函数， 在上单调递增，
所以，，
所以．
14．设偶函数满足，则________．
【答案】
（错因：解指数不等式时未注意方向反转）
【知识点】由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数为偶函数，且当时，，
故函数在上为增函数，且，
由得，可得，即或，
解得或，故.
15.（2026届河南开封模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（错因：忽略指数型复合函数换元后范围致误）
【知识点】求指数型复合函数的值域、函数新定义
【分析】先用换元法求得的值域，再根据高斯函数定义求出结论．
【详解】,
设，因为，则，
所以，
因为，则，即，
所以当时，，当时，，当时，，
所以的值域是
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