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专题2.9 函数的图象
【典例1】已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）
A． B．C． D．
【解析导引】
【错因解读】未能准确理解函数的平移与对称
（易错提示1：注意将负号提出来后图象也要变）
法一，因为，
所以函数的图象是先将函数的图象关于y轴对称，
得到的图象，再向右平移一个单位长度得到的.
故选：D.
法二，由图象知函数的定义域为，
由，得，所以函数的定义域为，故排除A，C；
又当时，，排除B.
故选：D.
【补救措施】函数的图象可以由函数的图象变换得到，是横坐标伸缩变换，是左右平行移动变换．特别先进行伸缩变换再进行平移变换时，平移的长度不是，而是，这是最容易出错的地方．
2.如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、求反函数
【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得.
【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于直线对称，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于x轴对称，
所以曲线对应的函数解析式为，即.
故选：A.
3.设函数的定义域在实数集上，则函数与的图象关于（ ）
A．直线对称 B．直线对称
C．直线对称 D．直线对称
【错因解读】错误记忆对称性结论，混淆不同的对称
【解析导引】作为选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法．
下面只讲常规求解法．
（易错提示1：函数平移左加右减）
∵，，而的图象是的图象向右平移1个单位而得到的，
又的图象是的图象也向右平移1个单位而得到的，
与的图象关于y轴（即直线）对称，
因此，与的图象关于直线对称，故选D．
【补救措施】这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈．即对称问题中有一结论：“设函数定义在实数集上，且，则函数关于直线对称．”这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题，若套用这一结论，必然得到一个错误的答案．
4.函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为（ ）
①函数的定义域为且；②；
③函数的图像关于直线对称；④当时，；
⑤方程有四个不同的根.
A．3 B．4 C．5 D．2
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、画出具体函数图象、函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】①令，求出定义域；
②代入求值，先求出，进而求出的值；
③写出分段函数，画出其图象，得到③错误；
④结合图象求出单调性，进而得到最大值；
⑤方程的根的个数转化为两函数的图象交点个数问题，数形结合求出⑤正确.
【详解】中，令，解得：，故①正确；
，故，②正确；
，画出函数图象如下：
显然函数的图像关于不关于直线对称，③错误；
从图象可看出：当时，单调递增，当时，单调递减，
故，④正确；
方程的根的个数等价于与有交点的个数，
在同一坐标系内画出与的图象，如下：
可得到与有四个不同的交点，故⑤正确.
故选：B
5.已知函数，若 且则的取值范围是
【错因解读】根据类型的总结，进行展开说明，分析问题的产生，发展和问题根源
【解析导引】根据对数函数性质，画出，
因为所以即，且
，
由对勾函数的性质可知，在上是增函数，
（易错提示1：注意此题中函数与坐标轴只有一个交点，所以零点不能取）
故有
故答案为：.
【补救措施】本例题错误的原因是对指数函数的图象和变换不熟悉，导致出错.常见的图象变换有平移变换、对称变换、伸缩变换三种，要在理解的基础上熟记如下结论：
（1）平移变换
①水平平移；如，把函数的图象，沿x轴方向向左或向右平移个单位，就得到的函数图象．
②竖直平移；如，把函数的图象沿y轴方向向上或向下平移个单位，就得到的函数图象．
（2）对称变换
①如，其函数图象与函数的图象关于y轴对称．
②如，其函数图象与函数的图象关于x轴对称．
③如，其函数图象与函数的图象关于原点对称．
④满足条件的函数图象关于直线对称．曲线关于点的对称曲线方程为，满足条件的函数图象关于点成中心对称．
（3）翻折变换
①如，将函数的图象，x轴下方沿x轴翻到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留在x轴以上部分，为函数的图象．
②如，将函数的图象在y轴右边沿y轴翻折到y轴左边部分替代原y轴左边部分并保留在y轴右边部分，为函数的图象．
（4）伸缩变换
①如，将函数的图象纵坐标（横坐标不变）伸长或压缩到倍得到．
②如，将函数的图象横坐标（纵坐标不变）缩小或伸长到原来的倍得到．
6.若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】根据对数复合函数的图象得到，结合指数函数的性质确定大致图象，即可得.
【详解】由解析式知，结合图知，故，
对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合.
故选：A
7.（2026届河北文安县第一中学高三一模）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【错因解读】未充分理解函数的性质来选取图像，或者利用函数的图象识别性质得出表达式.
【解析导引】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可．
（易错提示1：要注意复合函数的定义域）
，定义域为，
，解得或，
过和，故CD不符合题意；
又时，，
所以A不符合题意，B符合题意．
【补救措施】本例题的错误是没有详细识别函数表达式的性质，导致图象的选取出错.研究函数图象应从其主要特征入手，如：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性，特征点、特征线、周期性等．
8.（2026届辽宁省名校联盟高三下5月月考）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数图像的识别
【详解】，且定义域为R，
所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项，
并且在y轴右侧，趋近于0时，，故，
故只有选项满足题意.
9.已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
（错因：把握不清函数图象的平移与对称）
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为，则为奇函数，
所以的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．
故选：A
10．设函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线x＝－1对称 B．直线x＝－2对称 C．直线x＝2对称 D．直线x＝1对称
【答案】C
（错因：误用函数图象对称的结论）
【知识点】函数对称性的应用
【分析】根据函数图象的平移关系，结合与的对称性，即可求解.
【详解】是函数的图象向右平移1个单位，由于与的图象关于轴对称，所以与的图象关于对称，是函数向右平移2个单位，所以函数与函数的图象关于直线x＝2对称，
故选：C
11．设函数，若且，则的取值范围为__________．
【答案】
（错因：混淆指对数函数的图象）
【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数图象的应用、对数函数单调性的应用、由对数函数的单调性解不等式
【详解】的图象如下图所示
由图象可知，当时，单调递减，所以，此时，
当时，，，
，即，化简可得，解得，
综上所述，因为，所以的取值范围为.
12.（2026届山东济南高三下自测）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
（错因：选择图象与解析式出错）
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别
【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.
【详解】定义域为，，
则是偶函数，排除A选项；
当时，，则，
当时，，则；
当时，，则，排除CD选项.
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