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专题2.10 函数与方程
1.关于函数零点的下列说法正确的是（ ）
A.方程在区间内有解，则
B.单调函数在区间内与x轴有交点，则
C.连续函数的图象通过零点后函数值一定变号
D.函数的零点可以是一个数，也可以是一个点
【错因解读】对零点的概念与性质理解不透彻
【解析导引】
A项，根据函数零点的概念可知该选项错误；
B项，单调函数在区间内与x轴有交点，则，故B正确；
C项，如，此函数图象通过零点后函数值不变号，故C错误；
（易错提示1：函数的零点是一个实数，而不是点）
D项，对于函数零点的性质掌握得不准确，由函数在内连续，可得方程在区间内有解，反之不成立.故D错误.
【补救措施】从“数”的角度看，函数的零点是对应的x值；从“形”的角度看，函数的零点是函数的图象与x轴的交点的横坐标.连续函数的图象通过零点后函数值不一定变号，若函数满足，则函数的图象通过零点后函数值变号.
2.下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【知识点】求函数的零点、用二分法求近似解的条件
【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解．
3.(2026届湖北武汉部分学校高三下期4月学情检测)已知函数，若，则函数的零点个数是___________.
【错因解读】画图不精准使图像有偏差导致出错
【解析导引】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题.
函数的定义域为，由，得，
所以函数是偶函数，
当时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递增，上单调递减，
又为偶函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
（易错提示1：注意计算出函数值域后才能根据单调性画出图象）
所以，又时，，所以的值域为.
令，则，由，得，
因为，所以，画出与的图象如图所示，
所以在区间有唯一零点，
令，，函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4.
【补救措施】本题错误在于数形分离，画图太草，不知用数去准确确定两图的位置关系，因此，数与形一定要相互依托，不能分离.
4.（2026届福建泉州高三上期限时训练）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
【答案】 1
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角函数图象的综合应用
【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案.
【详解】第一空：当时，当时，，解得；
当时，，无零点，
故此时的零点个数是1；
第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；
①
若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得，
此时；
②
若恰有3个零点，则，此时，
所以恰有1个零点，符合要求；
③当时，，所以恰有1个零点，
而至少有4个零点，
此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上，或.
故答案为：1；.
【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.
5.函数有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【错因解读】分类讨论不完全、函数零点定理使用不当
【解析导引】当时，为函数的零点；
当时，
（易错提示1：注意讨论和的情况）
若，即时，是函数唯一的零点，
若，显然不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程有一个正根一个负根，即，即.故选B.
【补救措施】本题中的就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题；如果函数在区间上的图象是一条连续的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也是方程的根，我们称这个结论为函数的零点定理.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”.
6．“”是“函数只有一个零点”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、求函数的零点、根据零点求函数解析式中的参数
【分析】在时，求函数的零点，判断充分性，由函数只有一个零点求，判断必要性，由此可得结论.
【详解】当时，函数只有一个零点；
当时，函数只有一个零点1；
若函数只有一个零点，则或．
所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件．
故选：C.
7.（2026届甘肃嘉峪关酒钢三中高三模拟题）函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【错因解读】未考虑零点存在性定理的前提条件
【解析导引】
因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数.
（易错提示1：注意在使用存在性定理前要判断两个函数值异号）
又，
所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为.
【补救措施】本例题错误的地方在于在零点存在性定理使用时，未验证前提条件.
8．方程的根所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间
【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可.
【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ，
函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点，
，
因此 时，，无零点，A 选项错误；
，因此 时，，
无零点，B选项错误；
，
因为 ，因此 ，
此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ，
即方程的根在区间 内，C选项正确；
，
结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误.
9.（2026届福建南平高中毕业班第三次质量检测）设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
（错因：零点问题中画图存在错误）
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】作出函数和的图象，数形结合即可得解.
【详解】方程解的个数等价于函数和的图象交点个数，
作函数和的图象如图所示：
由图可知函数和的图象的交点个数为5.
方程解的个数为5.
故选：B
10．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（错因：存在性定理运用不当）
【知识点】比较指数幂的大小、零点存在性定理的应用、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间
【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可.
【详解】由题意可知函数的定义域为，
又因为与在均单调递减，
所以在均单调递减且连续，
因为，，
所以函数的唯一零点所在区间为.
11．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
（错因：零点的使用不当）
【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义
【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.
【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，
即，所以，
化为有解，令，
由基本不等式可知，当且仅当时取等，故，
则有在上有解，设，对称轴为．
①若，则，满足方程在上有解；
②若，要使在时有解，则需，
解得．
综上可得，实数的取值范围为．
故选：B.
12.（2027届重庆新高三五月学情调研）若函数可导，则“有零点”是“有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
（错因：函数零点概念的理解不清）
【知识点】求函数的零点、函数极值的辨析、既不充分也不必要条件
【分析】通过举特例可判断选项正误.
【详解】对于，有零点1，在R上单调递增，无极值，
则由“有零点”，不能得到“有极值”；
对于，有极小值，，则无零点，则由“有极值”，不能得到“有零点”．
从而“有零点”是“有极值”的既不充分也不必要条件．
13.（2026届天津第四十二中学高三下期开学考试）函数的零点所在区间为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
（错因：存在性定理运用不当）
【知识点】对数的运算、对数型复合函数的单调性、判断零点所在的区间
【分析】根据零点存在定理计算求解.
【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断，
又因为，
所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为.
故选：C.
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