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/ 让教学更有效 精品试卷 | 高数
2.11 函数模型的应用
1.某空调生产企业为了激励某地区销售公司多卖某款空调，在1月份推出的激励政策如下：若该款空调当月销售量不超过200台，则当月该款空调的进价为3000元/台；若该款空调当月销售量超过200台但不超过300台，则进价在3000元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低1元；若该款空调当月销售量超过300台，则进价在2900元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低2元.根据市场调查，该销售公司每月销售该空调最多400台且每月都有销量.
（1）设当月该款空调的销售量为台，实际进价为元/台，求与的函数关系式；
（2）已知该款空调的销售价为3500元/台，若销售公司当月销售该款空调的利润为18万元，试问销售公司当月销售了多少台该款空调？
【错因解读】建立函数模型时，只关注函数解析式本身的自然定义域，忽略了实际问题对自变量取值的限制条件；分段函数模型中各段自变量的范围常被忽略.
【解析导引】（1）由题意得，当时，；
当时，；
当时，.
故，其中.
（2）（易错提示一：需要注意分段函数中分段点的归属，应遵循“不重不漏”原则，在代入计算时严格遵照分段区间选择对应解析式.）
当时，销售该款空调的利润最大为元180000元，不符合题意；
当时，，
解得或不符合题意（舍去）；
当时，[] ，不符合题意；
综上，销售公司当月销售了300台该款空调.
【补救措施】先列约束条件，再写函数解析式，最后取交集定定义域；对分段函数，用数轴标注各段区间，对分段点采用统一规则，计算前确认自变量所属区间，再代入相应解析式.求出最值或方程解后，必须代入实际定义域检验，凡不在定义域内的解一律舍去，并在最终答案中明确写出定义域.
2.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________.
【答案】
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题
【分析】设，则可表示出矩形的面积，再结合分类讨论即可得.
【详解】设，则，
由题意可得且，故，
当时，由，可取，则得；
当时，不可取，又，则；
综上，可得.
故答案为：.
3.在某个物理实验中，测得变量和变量的几组数据，如下表：
0.50 0.99 2.01 3.98
0.98 2.00
则对，最适合的拟合函数是（ ）
A. B. C. D.
【错因解读】面对实际问题时，不能根据问题特征和数据变化规律选择合适的函数模型.
【解析导引】对于A，当时，与相差较大，排除选项A；
对于B，当时，与相差较大，排除选项B；
对于C，当时，与相差较大，排除选项C；
（易错提示一：需要注意判断模型类型时，核心依据是“增长速度的变化方式”，应通过计算增量或增长率来量化变化规律.）
对于D，与相差很小，与相差很小，
与相差很小，与相差很小，
因此函数可作拟合函数，D适合.
【补救措施】面对数据表格时，先算相邻增量，再算相邻比值，根据计算规律辅助判断模型类型，避免凭感觉猜测;当多个模型均可选时，代入若干已知数据点进行误差比较，选择拟合效果更优者.
4.2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据：
20 40 60
2800 4800 8400
为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择：
①；②．
(1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
(2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】(1)选①，，
(2)该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为.
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题
【分析】（1）根据函数的单调性排除②，再利用待定系数法即得；
（2）分和两种情况，结合二次函数以及函数单调性分别求耗电量的最小值，即可得结果.
【详解】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意；
故选①：，
由题意可得：，解得，
所以，.
（2）当时，设该车在国道的耗电量为，
则
当且仅当时，等号成立，
当时，设该车在高速的耗电量为，
则，
可知在内单调递增，则；
综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为.
5.某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米.
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）.
【错因解读】确定函数模型中的参数或利用模型求解时，忽略函数本身的性质（如单调性、奇偶性、最值等）.
【解析导引】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，
建立平面直角坐标系.如图所示，则，，.
设曲线段BC所在抛物线的方程为.
由题意可知，点和在此抛物线上，
故，
所以曲线段BC的方程为：
（2）由题意，线段AC的方程为.
当点D在曲线段BC上时，.
当点D在线段AC上时，.
所以
（易错提示一：需要注意判断分段函数在R上的单调性时，不能只看各段内部单调，必须比较分段点处左、右两侧函数值的大小关系）
当时，，令，
得，（舍去）.
当时，；当时，.
因此当时，是极大值，也是最大值
（易错提示二：需要注意求函数最值时，必须验证顶点横坐标是否落在实际定义域内；对于二次函数，需结合对称轴与区间的位置分类讨论）
当时，
当时，是最大值，
因为，所以无最大值，
所以当时，S取得最大值，最大值为.
【补救措施】解决分段函数单调性问题时，先令各段在其对应区间内满足单调条件；再令分段点处左端函数值与右端函数值满足相应的大小关系，将条件联立取交集;对于含参问题，将参数条件逐一列出后取交集，确保分段点处的条件不遗漏.
6．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数
(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本）
(2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？
【答案】(1)
(2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元
【知识点】分段函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）依题意可得，结合的解析式计算可得；
（2）首先表示出，再由基本不等式及函数的单调性计算可得.
【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元，
所以，又，
所以
（2）因为且，
所以 ，
①当时，
，
当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．
②当时，则在上单调递减，
所以．
综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元．
7.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）.根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%.截止2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年
【错因解读】完成数学模型的求解后，直接以数学结论作答，未将数学结论未还原为实际意义，不符合实际的解未舍去.
【解析导引】设从2025年开始经过年后算力首次突破7500PetaFLOPS，
则，即，
两边同时取常用对数得，即，
（易错提示一：需要注意凡是涉及离散量，求得小数结果必须根据实际意义取整，不可四舍五入或直接舍去小数部分.）
化简得，
因为取整数，所以，，
所以，年首次突破7500PetaFLOPS.
【补救措施】答题时要检查：①数值是否在定义域内；②数值是否符合量纲；③数值是否满足题目中的附加条件.
8.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题
【详解】设至少需要小时，则有 .
所以至少需要经过小时才能合法驾驶.
9.（2026届河南三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为124
C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟
【答案】ABD
（错因：忽视实际问题的自变量取值范围）
【知识点】求二次函数的值域或最值、求已知指数型函数的最值、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断.
【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，
因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确；
对于B，当且时，，
所以当时，取得最大值：，
当且时，，，
因为在上单调递减，所以，
所以当时，取得最大值：，
综上，的最大值为124，故B正确；
对于C，当时，，
所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误；
对于D，当且时，，
当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，
当且时，，
，即，
所以，即，解得，所以有，，
综上，当且时，，
因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确.
10．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间/分钟 0 1 2 3 4 5
水温 95 88
(1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，）
【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ；
(2)约6.5分钟。
（错因：函数模型选择不当）
【知识点】简单的对数方程、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解；
（2）根据（1）的结果，解方程.
【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增 函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得：，，，
所以；
（2），得，
，
刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟.
11.（2026届江苏如皋中学高三5月培优）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（ ）
A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元
【答案】B
（错因：忽视函数性质）
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、利润最大问题
【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的位置，最后结合四个选项进行判断．
【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元．
每日销量为，且 ．
因此每日销售利润为．
因为 ，所以 ．
令，则 ．
求导得．令 ，得 ．
两边同乘，得 ．
整理得 ，解得或．
因为 ，所以只取 ．
当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减．
所以利润函数在 时取得最大值．
在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增，
所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减，
所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元．
12.（2026届云南三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（ ）（参考数据：）
A．20次 B．25次 C．26次 D．27次
【答案】D
（错因：数学结论未还原为实际意义）
【知识点】对数函数模型的应用（2）
【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．
【详解】由题意知，当时，，代入，
得，
整理得：，也就有，
将代入，
得，
整理得：，
故，但由于扩增次数必须为整数，
故至少需要27次扩增，即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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