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专题3.1　导数的概念、几何意义及运算
1.设在处可导，下列式子与相等的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【错因解读】由于对导数的定义理解不清，导数是函数在某一点处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是，等．
【解析导引】
对于A，
（易错提示1：容易忽略掉分母的系数）
，则A满足；
对于B，
（易错提示2：容易忽略掉分母的系数）
则B不满足；
对于C，，则C满足；
对于D，
（易错提示3：容易忽略掉分母的系数）
则D不满足.
故选：AC
【补救措施】出现错误的原因是对导数的概念理解不透彻.在解题时要注意，容易忽略分母不是分子函数值对应自变量的差而出错.
2.已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求某点处的导数值
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】由题得，，令，因为，所以，则
.
纠正二 对切线“在”与“过”点的区别认识不清
3.已知曲线2.已知曲线y=上一点，则过点P的切线方程为______________．
【错因解读】在导数几何意义的应用问题中，往往只考虑导数本身的应用问题，而没有充分考虑导数本身的应用与实际问题的结合，导致错误.
【解析导引】设切点为
则切线方程为，
因为切线过点，把P点的坐标代入以上切线方程，
求得或
（易错提示：即点P，也符合题意，不能舍去），
所以当P点不为切点时切点为，
此时切线方程为；
当P点为切点时，切线方程为；
综上所述，过点P的切线方程为或．
【补救措施】出现错误的原因是对切线“在”“过”点混淆.
1、对于函数“在”某点处的切线方程，该点即切点，
2、切线“过”某点的切线方程，此时需先判定该点是否在函数图象上，要设切点坐标，
4.过点且与曲线相切的直线方程为______.
【答案】
【知识点】求过一点的切线方程
【解析】设切点为，然后可表示出切线方程为，代入点求出即可得答案.
【详解】设切点为，因为，所以，
所以过切点的切线方程为.
因为切线过点，所以，即，解得，
所以所求切线方程为，即切线方程为
故答案为：
纠正三 基本求导公式与法则记忆错误
5.下列函数的求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【错因解读】应合理使用对应的导数的求导法则，还要注意各运算的细节，否则容易出错．
【解析导引】因为，所以选项A求导不正确；
因为，所以选项B求导不正确；
（易错提示：常数求导结果一定为0）
因为，所以选项C求导不正确；
因为，所以选项D求导正确.
【补救措施】在导数运算中，牢记公式是关键.要特别注意在两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数中分子上是“＋”号，而商的导数中分子上是“－”号.
6.下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】结合导数的基本运算直接判断即可.
【详解】对ABC判断可知，运算正确，对D，，故D错误.
故选：D
7.已知函数，是函数的导函数，则＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
【错因解读】把复合函数当成基本初等函数直接求导、或内外函数分不清而求导导致错误.
【解析导引】计算的导数，得到，代值即可.
因为，
（易错提示：用2x+1替换x）
所以，
即，
所以，
所以.
故选：D.
【补救措施】要区分基本初等函数与复合函数，有求导公式的都是基本初等函数，对于复合函数要合理分出内外函数.
8.（2027届广西崇左高二下期期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】先对函数求导，得到处的导数值即切线斜率；再结合切点坐标用点斜式写出切线方程即可.
【详解】由可得：.
则曲线在点处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，整理得.
9.若曲线在点的切线也是曲线的切线，则a=____.
【错因解读】对于公切线、切点的“双重身份”认识不够
【解析导引】由，得，，
故曲线在处的切线方程为；
由，得，
（易错提示：不一定公切于处）
设切线与曲线相切的切点为，，
由两曲线有公切线得，解得，
则切点为，切线方程为，
根据两切线重合，解得．
【补救措施】利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点:注意曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．
10.曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、直线的倾斜角
【详解】，所以.
，所以.
11.（2027届安徽安庆高二下期期末）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
（错因：概念的理解不充分）
【答案】C
【知识点】导数定义中极限的简单计算
【详解】函数，
则.
12．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．
（错因：对切线“在”与“过”点的区别认识不清）
【答案】（1,） e
【知识点】求过一点的切线方程
【详解】试题分析：设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为．
考点：导数的几何意义；曲线切线方程的求法．
点评：我们要注意“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的区别．属于基础题型．
13.（2027届湖北襄阳四中高二下期6月质检）已知下列四个命题，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（错因：基本求导公式与法则记忆错误）
【答案】A
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】根据基本函数的求导公式以及复合函数的求导法则即可结合选项求解.
【详解】，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项错误；
14.（2027届湖北鄂州高二下期期末）下列函数的求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（错因：基本求导公式与法则记忆错误）
【答案】D
【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的乘除法
【分析】运用初等函数导数运算法则，结合复合函数的求导法则、两个函数之积的求导法则逐一判断即可.
【详解】因为，所以选项A求导不正确；
因为，所以选项B求导不正确；
因为，所以选项C求导不正确；
因为，所以选项D求导正确.
15.（2027届海南海口海师大附中高二下期期中）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则________．
（错因：几何意义理解不充分）
【答案】或
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则
【分析】借助导数的几何意义计算出切线方程后，可得方程有且仅有一解，再分与讨论即可得.
【详解】，则切线斜率，
则切线方程为，即，
则有且仅有一解，
即方程有且仅有一解，
若，则，符合题意；
若，则，即；
综上所述：的值为或.
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